试题

关于x的方程（m-8）x²-2（m-4）x-（m+2）=0至少有一个负根，求m的取值范围．

解：（1）当m=8时，方程为-8x-10=0，
∴x=-

5

4

，此时方程一定有负根；
（2）当m≠8，此时方程为一元二次方程，
∵x的方程（m-8）x²-2（m-4）x-（m+2）=0至少有一个负根，
可以假设方程没有一个负根，那么方程没有实数根或是两个非负根，设根为x₁，x₂，
∴△＜0或

△≥0 x1+x2≥0 x1·x2≥0

，
∴m²-7m＜0或

m2-7m≥0 2(m-4) m-8 ≥0 - m+2 m-8 ≥0

，
∴0＜m＜7或

m≤0或m≥7 m≤4或m＞8 -2≤m＜8

，
∴-2≤m＜7，
故所求m的取值范围为m＜-2或m≥7．
解：（1）当m=8时，方程为-8x-10=0，
∴x=-

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，此时方程一定有负根；
（2）当m≠8，此时方程为一元二次方程，
∵x的方程（m-8）x²-2（m-4）x-（m+2）=0至少有一个负根，
可以假设方程没有一个负根，那么方程没有实数根或是两个非负根，设根为x₁，x₂，
∴△＜0或

△≥0 x1+x2≥0 x1·x2≥0

，
∴m²-7m＜0或

m2-7m≥0 2(m-4) m-8 ≥0 - m+2 m-8 ≥0

，
∴0＜m＜7或

m≤0或m≥7 m≤4或m＞8 -2≤m＜8

，
∴-2≤m＜7，
故所求m的取值范围为m＜-2或m≥7．