试题
题目：
已知：关于x的方程
(
a
2
-1)(
x
x-1
)
2
-(2a+7)(
x
x-1
)+11=0
有实根．
（1）求a取值范围；
（2）若原方程的两个实数根为x
1
，x
2
，且
x
1
x
1
-1
+
x
2
x
2
-1
=
3
11
，求a的值．
答案
解：设
x
x-1
=y，
①当方程为一次方程时，
即a
2
-1=0 a=±1．
②当方程为二次方程时，a
2
-1≠0
则a≠±1，
原方程可化为：（a
2
-1）y
2
-（2a+7）y+11=0，
∴△=b
2
-4ac=（2a+7）
2
-4（a
2
-1）×11≥0，
∴40a
2
-28a-93≤0，
解得：
7-
979
20
≤a≤
7+
979
20
；
（2）设y
1
=
x
1
x
1
-1
，y
2
=
x
2
x
2
-1
，
则y
1
，y
2
是方程（a
2
-1）y
2
-（2a+7）y+11=0的两个根，
∴y
1
+y
2
=
2a+7
a
2
-1
=
3
11
，
解得：a=-
8
3
或a=10．
解：设
x
x-1
=y，
①当方程为一次方程时，
即a
2
-1=0 a=±1．
②当方程为二次方程时，a
2
-1≠0
则a≠±1，
原方程可化为：（a
2
-1）y
2
-（2a+7）y+11=0，
∴△=b
2
-4ac=（2a+7）
2
-4（a
2
-1）×11≥0，
∴40a
2
-28a-93≤0，
解得：
7-
979
20
≤a≤
7+
979
20
；
（2）设y
1
=
x
1
x
1
-1
，y
2
=
x
2
x
2
-1
，
则y
1
，y
2
是方程（a
2
-1）y
2
-（2a+7）y+11=0的两个根，
∴y
1
+y
2
=
2a+7
a
2
-1
=
3
11
，
解得：a=-
8
3
或a=10．
考点梳理
考点
分析
点评
专题
根与系数的关系；根的判别式．
（1）设
x
x-1
=y，分两种情况讨论，①方程为一元一次方程，②方程为二元一次方程，那么有（a
2
-1）y
2
-（2a+7）y+11=0，根据△≥0即可求解；
（2）设y
1
=
x
1
x
1
-1
，y
2
=
x
2
x
2
-1
，根据根与系数的关系即可求解．
本题考查了根与系数的关系及根的判别式，属于基础题，关键是掌握根与系数之间的关系进行解题．
计算题．
找相似题
已知关于x的方程x
2
-2x+m=0的一个根是-1，求它的另一个根和m的值．
先阅读，再填空解题：
（1）方程：x
2
+x-2=0的根是：x
1
=
2
2
，x
2
=
1
1
，则x
1
+x
2
=
3
3
，x
1
x
2
=
2
2
（2）方程2x
2
-7x+3=0的根是：x
1
=
3
3
，x
2
=
1
2
1
2
，则x
1
+x
2
=
7
2
7
2
，x
1
x
2
=
3
2
3
2
（3）方程x
2
-4x-5=0的根是：x
1
=
5
5
，x
2
=
-1
-1
，则x
1
+x
2
=
4
4
，x
1
x
2
=
-5
-5
（4）如果关于x的一元二次方程ax
2
+bx+c=0（a≠0且a、b、c为常数）的两根为x
1
，x
2
，根据以上（1）（2）（3）你能否猜出：x
1
+x
2
，x
1
x
2
与系数a、b、c有什么关系？请写出来你的猜想并说明理由．
已知关于2x
2
+kx-1=0．
（1）求证：该方程一定有两个不相等的实数根．
（2）若已知该方程的一个根是-1，请求出另一个根．
已知关于x的一元二次方程x
2
+2（n+1）x+n
2
-
7
2
=0．
（1）当n为何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）设x
1
，x
2
是方程的两个不相等的实数根且x
1
2
+x
2
2
=5，求n的值．
已知关于x的一元二次方程x
2
+2x-m=0
（1）请选取一个你喜爱的m的值，使方程有两个不相等的实数根，并说明它的正确性；
（2）设x
1
，x
2
是（1）中所得方程的两个根，求x
1
x
2
+x
1
+x
2
的值．