试题

题目：
已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（3a-1）x+2a2=0的两个实数根，使得（3x1-x2）（x1-3x2）=-80成立，求其实数a的可能值．
答案
解：∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（3a-1）x+2a2=0的两个实数根，a=1，b=（3a-1），c=2a2，
∴x1+x2=-（3a-1），x1·x2=2a2，
而（3x1-x2）（x1-3x2）=-80，
∴3x12-10x1x2+3x22=-80，
3（x1+x2）2-16x1x2=-80，
∴3[-（3a-1）]2-16×2a2=-80，
∴27a2-18a+3-32a2=-80，
∴5a2+18a-83=0，
∴a=
-9±4
31
5
，
当a=
-9+4
31
5
时，方程x2+（3a-1）x+2a2=0的△＜0，
∴不合题意，舍去
∴a=
-9-4
31
5
．
解：∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（3a-1）x+2a2=0的两个实数根，a=1，b=（3a-1），c=2a2，
∴x1+x2=-（3a-1），x1·x2=2a2，
而（3x1-x2）（x1-3x2）=-80，
∴3x12-10x1x2+3x22=-80，
3（x1+x2）2-16x1x2=-80，
∴3[-（3a-1）]2-16×2a2=-80，
∴27a2-18a+3-32a2=-80，
∴5a2+18a-83=0，
∴a=
-9±4
31
5
，
当a=
-9+4
31
5
时，方程x2+（3a-1）x+2a2=0的△＜0，
∴不合题意，舍去
∴a=
-9-4
31
5
．
考点梳理
根与系数的关系；根的判别式．
由于x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（3a-1）x+2a2=0的两个实数根，利用根与系数的关系可以得到x1+x2=-（3a-1），x1·x2=2a2，然后把（3x1-x2）（x1-3x2）乘开，接着整体代入前面等式的值即可得到关于a的方程，解方程即可求解．
本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
计算题．
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