试题

题目：
已知方程x2+bx+c=0与x2+cx+b=0各有两个整数根x1，x2，和x1′，x2′，且x1x2＞0，x1′x2′＞0．
（1）求证：x1＜0，x2＜0，x1′＜0，x2′＜0；
（2）求证：b-1≤c≤b+1；
（3）求b，c的所有可能的值．
答案
解：（1）由x1x2＞0知，x1与x2同号．
若x1＞0，则x2＞0，这时-b=x1+x2＞0，
所以b＜0，
此时与b=x1′x2′＞0矛盾，
所以x1＜0，x2＜0．
同理可证x1′＜0，x2′＜0．

（2）由（1）知，x1＜0，x2＜0，所以x1≤-1，x2≤-1．
由韦达定理c-（b-1）=x1x2+x1+x2+1=（x1+1）（x2+1）≥0，
所以c≥b-1．
同理有b-（c-1）=x1′x2′+x1′+x2′+1=（x1′+1）（x2′+1）≥0
所以c≤b+1，
所以b-1≤c≤b+1．

（3）由（2）可知，b与c的关系有如下三种情况：
（i）c=b+1．由韦达定理知
x1x2=-（x1+x2）+1，
所以（x1+1）（x2+1）=2，
所以
x1+1=-1
x2+1=-2
或
x1+1=-2
x2+1=-1

解得x1+x2=-5，x1x2=6，所以b=5，c=6．
（ii）c=b．由韦达定理知
x1x2=-（x1+x2），
所以（x1+1）（x2+1）=1，
所以x1=x2=-2，从而b=4，c=4．
（iii）c=b-1．由韦达定理知
-（x1′+x2′）=x1′x2′-1
所以（x1′+1）（x2′+1）=2，
解得x1′+x2′=-5，x1′x2′=6，
所以b=6，c=5．
综上所述，共有三组解：（b，c）=（5，6），（4，4），（6，5）．
解：（1）由x1x2＞0知，x1与x2同号．
若x1＞0，则x2＞0，这时-b=x1+x2＞0，
所以b＜0，
此时与b=x1′x2′＞0矛盾，
所以x1＜0，x2＜0．
同理可证x1′＜0，x2′＜0．

（2）由（1）知，x1＜0，x2＜0，所以x1≤-1，x2≤-1．
由韦达定理c-（b-1）=x1x2+x1+x2+1=（x1+1）（x2+1）≥0，
所以c≥b-1．
同理有b-（c-1）=x1′x2′+x1′+x2′+1=（x1′+1）（x2′+1）≥0
所以c≤b+1，
所以b-1≤c≤b+1．

（3）由（2）可知，b与c的关系有如下三种情况：
（i）c=b+1．由韦达定理知
x1x2=-（x1+x2）+1，
所以（x1+1）（x2+1）=2，
所以
x1+1=-1
x2+1=-2
或
x1+1=-2
x2+1=-1

解得x1+x2=-5，x1x2=6，所以b=5，c=6．
（ii）c=b．由韦达定理知
x1x2=-（x1+x2），
所以（x1+1）（x2+1）=1，
所以x1=x2=-2，从而b=4，c=4．
（iii）c=b-1．由韦达定理知
-（x1′+x2′）=x1′x2′-1
所以（x1′+1）（x2′+1）=2，
解得x1′+x2′=-5，x1′x2′=6，
所以b=6，c=5．
综上所述，共有三组解：（b，c）=（5，6），（4，4），（6，5）．
考点梳理
一元二次方程的整数根与有理根；根与系数的关系．
（1）分类讨论，根据x1x2＞0，x1′x2′＞0知道x1与x2同号，然后利用根与系数的关系求出矛盾，得到正确的结果；
（2）分别证明b-1≤c和c≤b+1，利用根与系数的关系和整数根；
（3）根据（2）中b-1≤c≤b+1，分别另c=b+1、b、b-1进行求解，从而得到所有正确的结果．
本题主要考查了一元二次方程的整数根和根与系数的关系，关键是分类讨论时要找到所有的情况．
计算题；分类讨论．
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