试题
题目：
已知x
1
，x
2
是方程x
2
-（k-2）x+（k
2
+3k+5）=0的两个实数根，求x
1
2
+x
2
2
的最大值和最小值．
答案
解：由于给出的二次方程有实根，所以△≥0，解得
-4≤k≤-
4
3
，
∴y=x
1
2
+x
2
2
=（x
1
+x
2
）
2
-2x
1
x
2
=-k
2
-10k-6，
∵函数y在
-4≤k≤-
4
3
随着k的增大而减小
∴当k=-4时，y
最大值
=18；当
k=-
4
3
时，
y
最小值
=
50
9
．
解：由于给出的二次方程有实根，所以△≥0，解得
-4≤k≤-
4
3
，
∴y=x
1
2
+x
2
2
=（x
1
+x
2
）
2
-2x
1
x
2
=-k
2
-10k-6，
∵函数y在
-4≤k≤-
4
3
随着k的增大而减小
∴当k=-4时，y
最大值
=18；当
k=-
4
3
时，
y
最小值
=
50
9
．
考点梳理
考点
分析
点评
专题
根与系数的关系；根的判别式．
x
1
，x
2
是方程x
2
-（k-2）x+（k
2
+3k+5）=0的两个实数根，根据△≥0，解得k的取值范围，再根据根与系数的关系进行解题．
本题考查了根与系数的关系及根的判别式，难度较大，关键先根据△≥0，解得k的取值范围，再根据根与系数的关系解题．
计算题．
找相似题
已知关于x的方程x
2
-2x+m=0的一个根是-1，求它的另一个根和m的值．
先阅读，再填空解题：
（1）方程：x
2
+x-2=0的根是：x
1
=
2
2
，x
2
=
1
1
，则x
1
+x
2
=
3
3
，x
1
x
2
=
2
2
（2）方程2x
2
-7x+3=0的根是：x
1
=
3
3
，x
2
=
1
2
1
2
，则x
1
+x
2
=
7
2
7
2
，x
1
x
2
=
3
2
3
2
（3）方程x
2
-4x-5=0的根是：x
1
=
5
5
，x
2
=
-1
-1
，则x
1
+x
2
=
4
4
，x
1
x
2
=
-5
-5
（4）如果关于x的一元二次方程ax
2
+bx+c=0（a≠0且a、b、c为常数）的两根为x
1
，x
2
，根据以上（1）（2）（3）你能否猜出：x
1
+x
2
，x
1
x
2
与系数a、b、c有什么关系？请写出来你的猜想并说明理由．
已知关于2x
2
+kx-1=0．
（1）求证：该方程一定有两个不相等的实数根．
（2）若已知该方程的一个根是-1，请求出另一个根．
已知关于x的一元二次方程x
2
+2（n+1）x+n
2
-
7
2
=0．
（1）当n为何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）设x
1
，x
2
是方程的两个不相等的实数根且x
1
2
+x
2
2
=5，求n的值．
已知关于x的一元二次方程x
2
+2x-m=0
（1）请选取一个你喜爱的m的值，使方程有两个不相等的实数根，并说明它的正确性；
（2）设x
1
，x
2
是（1）中所得方程的两个根，求x
1
x
2
+x
1
+x
2
的值．