试题
题目：
已知a、b为整数，若一元二次方程x
2
-ax
a-b
+（2a-b-1）x+a
2
+a-b-4=0的根都是整数，求a、b的值．
答案
解：根据题目分三种情况讨论：
①当a-b=2即b=a-2时，
原方程可化为：（1-a）x
2
+（a+1）x+（a-2）=0，
设方程两根为：x
1
，x
2
，则：x
1
+x
2
=
a+1
a-1
，x
1
x
2
=
a-2
1-a
，
∵x
1
，x
2
为整数，∴x
1
+x
2
=
a+1
a-1
，x
1
x
2
=
a-2
1-a
均为整数，
可得：
a=2
b=0
或者
a=0
b=2
；
②当a-b=1即b=a-1时，
原方程可化为：x
2
+a
2
-3=0，
当：x
1
，x
2
，a，b为整数时，无解；
③当a-b=0即a=b时，
原方程可化为：x
2
+（a-1）x+a
2
-a-4=0，
x
1
+x
2
=1-a，x
1
x
2
=a
2
-a-4，
可得有无数组a，b，x
1
，x
2
满足题意．
解：根据题目分三种情况讨论：
①当a-b=2即b=a-2时，
原方程可化为：（1-a）x
2
+（a+1）x+（a-2）=0，
设方程两根为：x
1
，x
2
，则：x
1
+x
2
=
a+1
a-1
，x
1
x
2
=
a-2
1-a
，
∵x
1
，x
2
为整数，∴x
1
+x
2
=
a+1
a-1
，x
1
x
2
=
a-2
1-a
均为整数，
可得：
a=2
b=0
或者
a=0
b=2
；
②当a-b=1即b=a-1时，
原方程可化为：x
2
+a
2
-3=0，
当：x
1
，x
2
，a，b为整数时，无解；
③当a-b=0即a=b时，
原方程可化为：x
2
+（a-1）x+a
2
-a-4=0，
x
1
+x
2
=1-a，x
1
x
2
=a
2
-a-4，
可得有无数组a，b，x
1
，x
2
满足题意．
考点梳理
考点
分析
点评
专题
根与系数的关系；一元二次方程的定义．
因为方程x
2
-ax
a-b
+（2a-b-1）x+a
2
+a-b-4=0为一元二次方程，且两根和a，b均为整数，根据根与系数的关系和一元二次方程的定义分情况讨论分别求解a，b值，即可得出答案．
本题主要考查根与系数的关系及一元二次方程的定义，难度较大，关键根据题意分情况讨论可能的各种情况，掌握x
1
，x
2
是方程x
2
+px+q=0的两根时，x
1
+x
2
=-p，x
1
x
2
=q．
计算题．
找相似题
已知关于x的方程x
2
-2x+m=0的一个根是-1，求它的另一个根和m的值．
先阅读，再填空解题：
（1）方程：x
2
+x-2=0的根是：x
1
=
2
2
，x
2
=
1
1
，则x
1
+x
2
=
3
3
，x
1
x
2
=
2
2
（2）方程2x
2
-7x+3=0的根是：x
1
=
3
3
，x
2
=
1
2
1
2
，则x
1
+x
2
=
7
2
7
2
，x
1
x
2
=
3
2
3
2
（3）方程x
2
-4x-5=0的根是：x
1
=
5
5
，x
2
=
-1
-1
，则x
1
+x
2
=
4
4
，x
1
x
2
=
-5
-5
（4）如果关于x的一元二次方程ax
2
+bx+c=0（a≠0且a、b、c为常数）的两根为x
1
，x
2
，根据以上（1）（2）（3）你能否猜出：x
1
+x
2
，x
1
x
2
与系数a、b、c有什么关系？请写出来你的猜想并说明理由．
已知关于2x
2
+kx-1=0．
（1）求证：该方程一定有两个不相等的实数根．
（2）若已知该方程的一个根是-1，请求出另一个根．
已知关于x的一元二次方程x
2
+2（n+1）x+n
2
-
7
2
=0．
（1）当n为何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）设x
1
，x
2
是方程的两个不相等的实数根且x
1
2
+x
2
2
=5，求n的值．
已知关于x的一元二次方程x
2
+2x-m=0
（1）请选取一个你喜爱的m的值，使方程有两个不相等的实数根，并说明它的正确性；
（2）设x
1
，x
2
是（1）中所得方程的两个根，求x
1
x
2
+x
1
+x
2
的值．