试题

如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数y1=

k

x

（k≠0）图象上一点，AB⊥x轴于B点，一次函数y₂=ax+b（a≠0）的图象交y轴于D（0，-2），交x轴于C点，并与反比例函数的图象交于A，E两点，连接OA，若△AOD的面积为4，且tan∠AOB=

1

2

．
（1）分别求出该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△ABC的面积．

解：（1）∵S_△AOD=

1

2

OD·OB=4，D（0，-2），即OD=2，
∴

1

2

×2×OB=4，即OB=4，
∵AB⊥x轴，tan∠AOB=

1

2

，
∴在Rt△AOB中，AB=OB·tan∠AOB=4×

1

2

=2，
∴A（4，2），
将A的坐标代入y₁=

k

x

得：k=8，
∴y₁=

8

x

；
将A（4，2）和D（0，-2）代入y₂=ax+b中得：

4k+b=2 b=-2

，
解得：

k=1 b=-2

，
∴y₂=x-2；

（2）对于y=x-2，
令y=0，解得：x=2，
∴C（2，0），即OC=2，
∴BC=OB-OC=4-2=2，
∴S_△ABC=

1

2

AB·BC=

1

2

×2×2=2．
解：（1）∵S_△AOD=

1

2

OD·OB=4，D（0，-2），即OD=2，
∴

1

2

×2×OB=4，即OB=4，
∵AB⊥x轴，tan∠AOB=

1

2

，
∴在Rt△AOB中，AB=OB·tan∠AOB=4×

1

2

=2，
∴A（4，2），
将A的坐标代入y₁=

k

x

得：k=8，
∴y₁=

8

x

；
将A（4，2）和D（0，-2）代入y₂=ax+b中得：

4k+b=2 b=-2

，
解得：

k=1 b=-2

，
∴y₂=x-2；

（2）对于y=x-2，
令y=0，解得：x=2，
∴C（2，0），即OC=2，
∴BC=OB-OC=4-2=2，
∴S_△ABC=

1

2

AB·BC=

1

2

×2×2=2．