试题

题目：
青果学院如图，在·ABCD中，AB=2AD，M为AB的中点，如图连接DM、MC，试问直线DM和MC有何位置关系？请证明．
答案
证明：DM与MC互相垂直，
∵M是AB的中点，
∴AB=2AM，
又∵AB=2AD，
∴AM=AD，
∴∠ADM=∠AMD，
∵·ABCD，
∴AB∥CD，
∴∠AMD=∠MDC，
∴∠ADM=∠MDC，
即∠MDC=
1
2
∠ADC，
同理∠MCD=
1
2
∠BCD，
∵·ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠MDC+∠MCD=
1
2
∠BCD+
1
2
∠ADC=90°，
即∠MDC+∠MCD=90°，
∴∠DMC=90°，
∴DM与MC互相垂直．
证明：DM与MC互相垂直，
∵M是AB的中点，
∴AB=2AM，
又∵AB=2AD，
∴AM=AD，
∴∠ADM=∠AMD，
∵·ABCD，
∴AB∥CD，
∴∠AMD=∠MDC，
∴∠ADM=∠MDC，
即∠MDC=
1
2
∠ADC，
同理∠MCD=
1
2
∠BCD，
∵·ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠MDC+∠MCD=
1
2
∠BCD+
1
2
∠ADC=90°，
即∠MDC+∠MCD=90°，
∴∠DMC=90°，
∴DM与MC互相垂直．
考点梳理
平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质．
由AB=2AD，M是AB的中点的位置关系，可得出DM、CM分别是∠ADC与∠BCD的角平分线，又由平行线的性质可得∠ADC+∠BCD=180°，进而可得出DM与MC的位置关系．
本题考查的是平行四边形的性质、角平分线的性质以及等腰三角形的判定及性质，应熟练掌握平行四边形的性质，并能求解一些简单的计算、证明等问题．
证明题．
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