试题

如图1，P为Rt△ABC所在平面内任意一点（不在直线AC上），∠ACB=90°，M为AB边中点．
操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连接PM并延长到点E，使ME=PM，连接DE．
（1）请你利用图2，选择Rt△ABC内的任意一点P按上述方法操作；
（2）经历（1）之后，观察两图形，猜想线段DE和线段AC之间有怎样的位置关系？请选择其中的一个图形证明你的猜想；
（3）观察两图，你还可得出和DE相关的什么结论？请直接写出．

解：（1）如图．

（2）DE∥BC，DE=BC，DE⊥AC．在图1中连接BE．
∵PM=ME，AM=MB，∠PMA=∠EMB，
在△PMA和△EMB中：

PM=ME ∠PMA=∠EMB AM=MB

∴△PMA≌△EMB．
∴PA=BE，∠MPA=∠MEB．
∴PA∥BE．
∵四边形PADC是平行四边形，
∴PA∥DC，PA=DC．
∴BE∥DC，BE=DC．
∴四边形DEBC是平行四边形．
∴DE∥BC，DE=BC．
∵∠ACB=90°，
∴BC⊥AC．
∴DE⊥AC．

（3）DE∥BC，DE=BC．
解：（1）如图．

（2）DE∥BC，DE=BC，DE⊥AC．在图1中连接BE．
∵PM=ME，AM=MB，∠PMA=∠EMB，
在△PMA和△EMB中：

PM=ME ∠PMA=∠EMB AM=MB

∴△PMA≌△EMB．
∴PA=BE，∠MPA=∠MEB．
∴PA∥BE．
∵四边形PADC是平行四边形，
∴PA∥DC，PA=DC．
∴BE∥DC，BE=DC．
∴四边形DEBC是平行四边形．
∴DE∥BC，DE=BC．
∵∠ACB=90°，
∴BC⊥AC．
∴DE⊥AC．

（3）DE∥BC，DE=BC．