试题

如图，在四边形ABCD中，已知△ABC、△BCD、△ACD的面积之比是3：1：4，点E在边AD上，CE交BD于G，设

BG

GD

=

DE

EA

=k．
（1）求

3	7k2+20

的值；
（2）若点H分线段BE成

BH

HE

=2的两段，且AH²+BH²+DH²=p²，试用含p的代数式表示△ABD三边长的平方和．

略解：（1）不妨设△ABC、△BCD、△ACD的面积分别为3、1、4．
∵

BG

GD

=

DE

EA

=k，
∴△ABD的面积是6，△BDE的面积是

6k

k+1

．
∴△CDG的面积是

1

k+1

，△CDE的面积为

4k

k+1

，△DEG的面积是

6k

(k+1)2

．
由此可得：

1

k+1

+

6k

(k+1)2

=

4k

k+1

，
即4k²-3k-1=0，
∴k=1．
∴

3	7k2+20

=3．

（2）由（1）知：E、G分别为AD、BD的中点，
又∵点H分线段BE成

BH

HE

=2的两段，
∴点H是△ABD的重心．
而当延长BE到K，使得BE=EK，连接AK、DK后便得到平行四边形ABDK，再利用“平行四边形的四边平方和等于两对角线的平方和”就可得：2（AB²+BD²）=AD²+4BE²，类似地有

2(BD2+AD2)=AB2+4DM2 2(AB2+AD2)=BD2+4AG2

，其中点M为边AB的中点．
∴3（AB²+BD²+AD²）=4（BE²+DM²+AG²）．
∵AH=

2

3

AG，BH=

2

3

BE，DH=

2

3

DM，AH²+BH²+DH²=p²，
∴BE2+DM2+AG2=

9

4

p2，
∴AB²+BD²+AD²=3p²．
略解：（1）不妨设△ABC、△BCD、△ACD的面积分别为3、1、4．
∵

BG

GD

=

DE

EA

=k，
∴△ABD的面积是6，△BDE的面积是

6k

k+1

．
∴△CDG的面积是

1

k+1

，△CDE的面积为

4k

k+1

，△DEG的面积是

6k

(k+1)2

．
由此可得：

1

k+1

+

6k

(k+1)2

=

4k

k+1

，
即4k²-3k-1=0，
∴k=1．
∴

3	7k2+20

=3．

（2）由（1）知：E、G分别为AD、BD的中点，
又∵点H分线段BE成

BH

HE

=2的两段，
∴点H是△ABD的重心．
而当延长BE到K，使得BE=EK，连接AK、DK后便得到平行四边形ABDK，再利用“平行四边形的四边平方和等于两对角线的平方和”就可得：2（AB²+BD²）=AD²+4BE²，类似地有

2(BD2+AD2)=AB2+4DM2 2(AB2+AD2)=BD2+4AG2

，其中点M为边AB的中点．
∴3（AB²+BD²+AD²）=4（BE²+DM²+AG²）．
∵AH=

2

3

AG，BH=

2

3

BE，DH=

2

3

DM，AH²+BH²+DH²=p²，
∴BE2+DM2+AG2=

9

4

p2，
∴AB²+BD²+AD²=3p²．