试题

题目：
青果学院（2011·海沧区质检）在△ABC中，AB=AC=5cm，D、E分别是AB，AC的中点，将△EBC沿BC折叠得到△FBC，连接C、D．
（1）求证：四边形DBFC是平行四边形；    
（2）若BC=5cm，求D、F两点之间的距离．
答案
青果学院（1）证明：∵AB=AC=5cm，D、E分别是AB，AC的中点，
∴BD=CE=2.5cm，∠ABC=∠ACB，BC=BC，
∴△BEC≌△CDB，
∴BE=CD，
∵△BFC是△BEC翻折而成，
∴BE=BF，CE=CF，
∴BF=CD，CF=BD，
∴四边形DBFC是平行四边形；

（2）解：连接DF，
∵AB=AC=5cm，BC=5cm，
∴△ABC是等边三角形，
∵D是AB的中点，
∴CD⊥AB，∠BCD=30°，
∴CD=BC·cos30°=5×
3
2
=
5
3
2
，
∴四边形DBFC是矩形，
∴BF=CD=
5
3
2

在Rt△BDF中，
DF=
BD2+BF2
=
2.52+(
5
3
2
)2
=5cm．
青果学院（1）证明：∵AB=AC=5cm，D、E分别是AB，AC的中点，
∴BD=CE=2.5cm，∠ABC=∠ACB，BC=BC，
∴△BEC≌△CDB，
∴BE=CD，
∵△BFC是△BEC翻折而成，
∴BE=BF，CE=CF，
∴BF=CD，CF=BD，
∴四边形DBFC是平行四边形；

（2）解：连接DF，
∵AB=AC=5cm，BC=5cm，
∴△ABC是等边三角形，
∵D是AB的中点，
∴CD⊥AB，∠BCD=30°，
∴CD=BC·cos30°=5×
3
2
=
5
3
2
，
∴四边形DBFC是矩形，
∴BF=CD=
5
3
2

在Rt△BDF中，
DF=
BD2+BF2
=
2.52+(
5
3
2
)2
=5cm．
考点梳理
翻折变换（折叠问题）；等边三角形的性质；勾股定理；平行四边形的判定．
（1）先根据中点的性质得出BD及CE的长，由全等三角形的判定定理得出△BEC≌△CDB，进而得出CD=BE，再由图形翻折变换的性质得出BE=BF，CE=CF，通过等量代换可得到BD=CF，CD=BF，故可知四边形DBFC是平行四边形；
（2）根据等边三角形的性质判断出△BDC的形状，连接DF，根据勾股定理即可得出DF的长．
本题考查的是图形的翻折变换，涉及到等边三角形的判定与性质，直角三角形的判定与性质，矩形的判定定理等知识，涉及面较广，难度适中．
探究型．
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