试题

（2012·沙湾区模拟）甲：某供电局的电力维修工甲、乙两人要到45千米远的A地进行电力抢修．甲骑摩托车先行t（t≥0）小时后，乙开抢修车载着所需材料出发．
（1）若t=

3

8

小时，抢修车的速度是摩托车的1.5倍，且甲、乙两人同时到达，求摩托车的速度；
（2）若摩托车的速度是45千米/小时，抢修车的速度是60千米/小时，且乙不能比甲晚到，则t的最大值是多少？
乙：如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE．若∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
求证：（1）△ABC≌△EAF；
（2）四边形ADFE是平行四边形．

甲：解：（1）设摩托车的速度是x千米/时，则抢修车的速度是1.5x千米/时，
由题意得：

45

x

=

45

1.5x

+

3

8

，
解之得x=40．
经检验，x=40千米/时是原方程的解且符合题意．
答：摩托车的速度为40千米/时．

（2）由题意得

45

45

≥t+

45

60

，
解之得t≤

1

4

．
∴0≤t≤

1

4

．
∴t最大值是

1

4

（时）
答：乙最多只能比甲迟

1

4

小时出发，即t的最大值为

1

4

．
 
 乙：证明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴AB=2BC，
又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴∠AEF=30°
∴AE=2AF，且AB=2AF，
∴AF=CB，
而∠ACB=∠AFE=90°，
在Rt△AFE和Rt△BCA中，

AF=BC AE=BA

，
∴△ABC≌△EAF（HL）；

（2）∵△AFE≌△BCA，
∴AC=EF，
而△ACD是等边三角形，
∴∠DAC=60°
∴EF=AC=AD，且AD⊥AB，
而EF⊥AB，
∴EF∥AD，
∴四边形ADFE是平行四边形．
甲：解：（1）设摩托车的速度是x千米/时，则抢修车的速度是1.5x千米/时，
由题意得：

45

x

=

45

1.5x

+

3

8

，
解之得x=40．
经检验，x=40千米/时是原方程的解且符合题意．
答：摩托车的速度为40千米/时．

（2）由题意得

45

45

≥t+

45

60

，
解之得t≤

1

4

．
∴0≤t≤

1

4

．
∴t最大值是

1

4

（时）
答：乙最多只能比甲迟

1

4

小时出发，即t的最大值为

1

4

．
 
 乙：证明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴AB=2BC，
又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴∠AEF=30°
∴AE=2AF，且AB=2AF，
∴AF=CB，
而∠ACB=∠AFE=90°，
在Rt△AFE和Rt△BCA中，

AF=BC AE=BA

，
∴△ABC≌△EAF（HL）；

（2）∵△AFE≌△BCA，
∴AC=EF，
而△ACD是等边三角形，
∴∠DAC=60°
∴EF=AC=AD，且AD⊥AB，
而EF⊥AB，
∴EF∥AD，
∴四边形ADFE是平行四边形．