试题

（2010·顺义区二模）我们给出如下定义：有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形．请解答下列问题：
（1）写出一个你所学过的特殊四边形中是等邻角四边形的图形的名称；
（2）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且CD=CA，点E、F分别为BC、AD的中点，连接EF并延长交AB于点G．求证：四边形AGEC是等邻角四边形；
（3）如图2，若点D在△ABC的内部，（2）中的其他条件不变，EF与CD交于点H，图中是否存在等邻角四边形，若存在，指出是哪个四边形，不必证明；若不存在，请说明理由．

解：（1）等腰梯形（或矩形，或正方形）

（2）证法一：取AC的中点H，连接HE、HF
∵点E为BC中点
∴EH为△ABC的中位线
∴EH∥AB，且EH=

1

2

AB
同理FH∥DC，且FH=

1

2

DC
∵AB=AC，DC=AC
∴AB=DC，EH=FH
∴∠1=∠2
∵EH∥AB，FH∥DC
∴∠2=∠4，∠1=∠3
∴∠4=∠3
∵∠AGE+∠4=180°，∠GEC+∠3=180°
∴∠AGE=∠GEC
∴四边形AGEC是邻角四边形
证法二：连接AE
设∠B的度数为x
∵AB=AC，CD=CA
∴∠C=∠B=x，∠1=

180°-x

2

=90°-

x

2

∵F是AD的中点
∴AF=DF=

1

2

AD
∴∠2=∠1=90°-

x

2

∴∠AGE=∠B+∠2=x+90°-

x

2

=90°+

x

2

∠GEC=180°-（90°-

x

2

）=90°+

x

2

∴∠AGE=∠GEC
∴四边形AGEC是邻角四边形

（3）存在等邻角四边形，为四边形AGHC．
解：（1）等腰梯形（或矩形，或正方形）

（2）证法一：取AC的中点H，连接HE、HF
∵点E为BC中点
∴EH为△ABC的中位线
∴EH∥AB，且EH=

1

2

AB
同理FH∥DC，且FH=

1

2

DC
∵AB=AC，DC=AC
∴AB=DC，EH=FH
∴∠1=∠2
∵EH∥AB，FH∥DC
∴∠2=∠4，∠1=∠3
∴∠4=∠3
∵∠AGE+∠4=180°，∠GEC+∠3=180°
∴∠AGE=∠GEC
∴四边形AGEC是邻角四边形
证法二：连接AE
设∠B的度数为x
∵AB=AC，CD=CA
∴∠C=∠B=x，∠1=

180°-x

2

=90°-

x

2

∵F是AD的中点
∴AF=DF=

1

2

AD
∴∠2=∠1=90°-

x

2

∴∠AGE=∠B+∠2=x+90°-

x

2

=90°+

x

2

∠GEC=180°-（90°-

x

2

）=90°+

x

2

∴∠AGE=∠GEC
∴四边形AGEC是邻角四边形

（3）存在等邻角四边形，为四边形AGHC．