试题

（2011·深圳模拟）已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，BE⊥AC，垂足为点E，M为AB边的中点，连接ME、MD、ED．
（1）求证：△MED为等腰三角形；
（2）求证：∠EMD=2∠DAC．

证明：（1）∵M为AB边的中点，AD⊥BC，BE⊥AC，
∴ME=

1

2

AB，MD=

1

2

AB，
∴ME=MD，
∴△MED为等腰三角形；

（2）∵ME=

1

2

AB=MA，
∴∠MAE=∠MEA，
∴∠BME=2∠MAE，
同理，MD=

1

2

AB=MA，
∴∠MAD=∠MDA，
∴∠BMD=2∠MAD，
∴∠EMD=∠BME-∠BMD=2∠MAE-2∠MAD=2∠DAC．
证明：（1）∵M为AB边的中点，AD⊥BC，BE⊥AC，
∴ME=

1

2

AB，MD=

1

2

AB，
∴ME=MD，
∴△MED为等腰三角形；

（2）∵ME=

1

2

AB=MA，
∴∠MAE=∠MEA，
∴∠BME=2∠MAE，
同理，MD=

1

2

AB=MA，
∴∠MAD=∠MDA，
∴∠BMD=2∠MAD，
∴∠EMD=∠BME-∠BMD=2∠MAE-2∠MAD=2∠DAC．