试题

（2007·江苏）如图，已知AD与BC相交于E，∠1=∠2=∠3，BD=CD，∠ADB=90°，CH⊥AB于H，CH交AD于F．
（1）求证：CD∥AB；
（2）求证：△BDE≌△ACE；
（3）若O为AB中点，求证：OF=

1

2

BE．

证明：（1）∵BD=CD，
∴∠BCD=∠1；
∵∠1=∠2，
∴∠BCD=∠2；
∴CD∥AB．

（2）∵CD∥AB，∴∠CDA=∠3．
∵∠BCD=∠2=∠3，
∴BE=AE．
且∠CDA=∠BCD，
∴DE=CE．
在△BDE和△ACE中，
∵DE=CE，∠DEB=∠CEA，BE=AE．
∴△BDE≌△ACE；

（3）∵△BDE≌△ACE，
∴∠4=∠1，∠ACE=∠BDE=90°
∴∠ACH=90°-∠BCH；
又∵CH⊥AB，
∴∠2=90°-∠BCH；
∴∠ACH=∠2=∠1=∠4，
∴AF=CF；
∵∠AEC=90°-∠4，∠ECF=90°-∠ACH，
又∵∠ACH=∠4，
∴∠AEC=∠ECF；
∴CF=EF；
∴EF=AF；
∵O为AB中点，
∴OF为△ABE的中位线；
∴OF=

1

2

BE．
证明：（1）∵BD=CD，
∴∠BCD=∠1；
∵∠1=∠2，
∴∠BCD=∠2；
∴CD∥AB．

（2）∵CD∥AB，∴∠CDA=∠3．
∵∠BCD=∠2=∠3，
∴BE=AE．
且∠CDA=∠BCD，
∴DE=CE．
在△BDE和△ACE中，
∵DE=CE，∠DEB=∠CEA，BE=AE．
∴△BDE≌△ACE；

（3）∵△BDE≌△ACE，
∴∠4=∠1，∠ACE=∠BDE=90°
∴∠ACH=90°-∠BCH；
又∵CH⊥AB，
∴∠2=90°-∠BCH；
∴∠ACH=∠2=∠1=∠4，
∴AF=CF；
∵∠AEC=90°-∠4，∠ECF=90°-∠ACH，
又∵∠ACH=∠4，
∴∠AEC=∠ECF；
∴CF=EF；
∴EF=AF；
∵O为AB中点，
∴OF为△ABE的中位线；
∴OF=

1

2

BE．