试题

如图，B、C、D三点在同一直线上，分别以BC、CD为边在同侧作两个正三角形△ABC和△ECD，P为BD边中点，M、N分别为AB、ED的中点，连接PM、PN，探求PM与PN的数量关系及∠MPN的度数，并证明．

解：PM=PN，∠MPN=120°；
理由如下：连接AD、BE．
∵△ABC和△ECD是等边三角形，
∴AC=BC，∠BCA=60°，CD=CE，∠ECD=60°；
∴∠ECD+∠ACE=∠BCA+∠ACE，即∠ACD=∠BCE，
∴在△ACD和△BCE中，

AC=BC ∠ACD=∠BCE CD=CE

，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE（全等三角形的对应角相等），∠CAD=∠CBE（全等三角形的对应角相等）；
又∵P为BD边中点，M、N分别为AB、ED的中点，
∴PM=

1

2

AD，PN=

1

2

BE，
∴PM=PN；
∵MP∥AD（中位线的性质），
∴∠BPM=∠CDA；
同理，得∠NPD=∠EBC=∠CAD，
∴∠MPN=180°-∠BPM-∠NPD=180°-∠CDA-∠CAD=∠ACD（等量代换），
∵∠ACD=∠ABC+∠BAC=120°，即∠MPN=120°．
解：PM=PN，∠MPN=120°；
理由如下：连接AD、BE．
∵△ABC和△ECD是等边三角形，
∴AC=BC，∠BCA=60°，CD=CE，∠ECD=60°；
∴∠ECD+∠ACE=∠BCA+∠ACE，即∠ACD=∠BCE，
∴在△ACD和△BCE中，

AC=BC ∠ACD=∠BCE CD=CE

，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE（全等三角形的对应角相等），∠CAD=∠CBE（全等三角形的对应角相等）；
又∵P为BD边中点，M、N分别为AB、ED的中点，
∴PM=

1

2

AD，PN=

1

2

BE，
∴PM=PN；
∵MP∥AD（中位线的性质），
∴∠BPM=∠CDA；
同理，得∠NPD=∠EBC=∠CAD，
∴∠MPN=180°-∠BPM-∠NPD=180°-∠CDA-∠CAD=∠ACD（等量代换），
∵∠ACD=∠ABC+∠BAC=120°，即∠MPN=120°．