试题

如图，线段AC与BD交于O，DO=DC，AO=AB，E，F，G分别是OB，OC，AD中点
（1）如图1，当∠AOB=60°时，EG与FG的数量关系是，∠EGF=；
如图2，当∠AOB=45°时，EG与FG的数量关系是，∠EGF=；
（2）如图3，当∠AOB=θ时，EG与FG的数量关系是，∠EGF=；
（3）请你从上述三个结论中选择一个结论加以证明

解：（1）当∠AOB=60°时，
证明：连接DF与EG，
∵DO=DC，AO=AB，
∵∠DOC=∠AOB=60°，
∴△DOC与△AOB是等边三角形，
∵E，F，G分别是OB，OC，AD中点，
∴DF⊥AC，AE⊥BD，
∴EG=

1

2

AD，FG=

1

2

AD，
∴EG=FG，
∵∠DCO=∠BAO=60°，
∴AB∥CD，
∴∠CDA+∠DAB=180°，
∵∠CDO=

1

2

∠CDA=∠OAB=

1

2

BAO=30°，
∴∠ADF+∠EAG=120°，
∵DG=GF=AG=EG=

1

2

AD，
∴∠DFG=∠GDF，∠AEG=∠GAE，
∴∠DFG+∠AEG=∠ADF+∠EAG=120°，
∴∠DFG+∠AEG+∠ADF+∠EAG=240°，
∴∠DGF+∠AGE=360°-（∠DFG+∠AEG+∠ADF+∠EAG）=120°，
∴∠FGE=60°；

当∠AOB=45°时，
证明：连接DF与EG，
∵DO=DC，AO=AB，
∵∠DOC=∠AOB=45°，
∴△DOC与△AOB是等腰直角三角形，
∵E，F，G分别是OB，OC，AD中点，
∴DF⊥AC，AE⊥BD，
∴EG=

1

2

AD，FG=

1

2

AD，
∴EG=FG，
∵∠DCO=∠BAE=45°，
∴AE∥CD，
∴∠CDA+∠DAE=180°，
∵∠CDO=

1

2

∠CDO=∠OAB=

1

2

BAO=45°，
∴∠ADF+∠EAG=135°，
∵DG=GF=AG=EG=

1

2

AD，
∴∠DFG=∠GDF，∠AEG=∠GAE，
∴∠DFG+∠AEG=∠ADF+∠EAG=135°，
∴∠DFG+∠AEG+∠ADF+∠EAG=270°，
∴∠DGF+∠AGE=360°-（∠DFG+∠AEG+∠ADF+∠EAG）=190°，
∴∠FGE=90°；

（2）当∠AOB=θ时，
证明：连接DF与AE，
∵DO=DC，AO=AB，∵∠DOC=∠AOB=∠DCO=∠ABO=θ，
∴△DOC与△AOB是等腰三角形，
∵E，F，G分别是OB，OC，AD中点，
∴DF⊥AC，AE⊥BD，
∴EG=

1

2

AD，FG=

1

2

AD，
∴EG=FG，
∵∠FDO=∠EAO=90°-θ，
∴∠ODA+∠OAD=θ，
∴∠FDA+∠EAD=180°-θ，
∵DG=GF=AG=EG=

1

2

AD，
∴∠DFG=∠GDF，∠AEG=∠GAE，
∴∠DFG+∠AEG=∠ADF+∠EAG=180°-θ，
∴∠DFG+∠AEG+∠ADF+∠EAG=360°-2θ，
∴∠DGF+∠AGE=360°-（∠DFG+∠AEG+∠ADF+∠EAG）=180°-2θ，
∴∠FGE=180°-2θ．
故答案为：（1）EG=FG，60°；  EG=FG，90°；
（2）EG=FG，180°-2θ；
（3）选择证明即可．