试题

题目：
青果学院（2013·黔东南州一模）如图，等边△ABC的面积为
3
，顺次连接△ABC各边的中点得△A1B1C1，顺次连接△A1B1C1各边的中点得△A2B2C2，…，如此下去得△AnBnCn，则△AnBnCn的周长为
3
2n-1
3
2n-1
．
答案
3
2n-1

解：∵等边△ABC的面积为
3
，
∴AB=BC，∠B=60°
∴
1
2
AB·BCsin60°=
3
，则AB=BC=2
∴△ABC的周长为6．
∵顺次连接△ABC各边的中点得△A1B1C1，
∴△A1B1C1的周长=
1
2
×6=3，
同理：△A2B2C2的周长=
1
2
△A1B1C1的周长=
1
2
×3=
3
2
，
…
以此类推，△AnBnCn的周长=
1
2
△An-1Bn-1Cn-1的周长=
3
2n-1
．
故答案是：
3
2n-1
．
考点梳理
三角形中位线定理；等边三角形的性质．
根据三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，可得后一个三角形的周长等于前一个三角形的周长的一半，根据此规律进行解答．
本题考查了三角形的中位线定理，推出后一个三角形的周长等于前一个三角形周长的一半是解题的关键．
规律型．
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