试题

如图，在凸四边形ABCD中，M为边AB的中点，且MC=MD，分别过C，D两点，作边BC，AD的垂线，设两条垂线的交点为P．
求证：∠PAD=∠PBC．

证明：如图：取AP，BP的中点分别为F，E；并连接DF，MF，EC，ME；
根据三角形的中位线定理得：MF=

1

2

BP=PE，ME=

1

2

AP=PF，
∴四边形MFPE为平行四边形
∴∠MFP=∠MEP，
∵PD⊥AD，PC⊥BC，
∴∠ADP=∠BCP=90°，
∴在Rt△APD与Rt△BPC中，
DF=AF=PF=

1

2

PA，CE=BE=PE=

1

2

BP，
∴DF=EM=PF，FM=PE=CE，
∵MC=MD，
∴△MDF≌△CME（SSS），
∴∠DFM=∠MEC，
∴∠DFP=∠CEP，
∴FA=FD，CE=BE，
∴∠DAF=∠FDA，∠ECB=∠CBE，
∴∠DFP=2∠DAP，∠CEP=2∠CBP，
∵∠DFP=∠CEP，
∴∠PAD=∠PBC．
证明：如图：取AP，BP的中点分别为F，E；并连接DF，MF，EC，ME；
根据三角形的中位线定理得：MF=

1

2

BP=PE，ME=

1

2

AP=PF，
∴四边形MFPE为平行四边形
∴∠MFP=∠MEP，
∵PD⊥AD，PC⊥BC，
∴∠ADP=∠BCP=90°，
∴在Rt△APD与Rt△BPC中，
DF=AF=PF=

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2

PA，CE=BE=PE=

1

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BP，
∴DF=EM=PF，FM=PE=CE，
∵MC=MD，
∴△MDF≌△CME（SSS），
∴∠DFM=∠MEC，
∴∠DFP=∠CEP，
∴FA=FD，CE=BE，
∴∠DAF=∠FDA，∠ECB=∠CBE，
∴∠DFP=2∠DAP，∠CEP=2∠CBP，
∵∠DFP=∠CEP，
∴∠PAD=∠PBC．