试题

已知△ABC（如图所示）．
（1）在图中找出重心O；
（2）设BC，AC，AB边的中点为M，N，G，度量OM和OA，ON与OB，OG与OC，根据度量的结果，猜想三角形的重心到三角形顶点的距离与到对边中点的距离之间的距离，并给予证明．

解：（1）用尺规作图作出△ABC三边的中线AM，BN，CG，设它们的交点为O，则O为△ABC的重心

（2）通过度量发现：AO=2OM，BO=2ON，CO=2OG
猜想：三角形的重心O到三角形顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍．
证明：如图所示，取BO，CO的中点K，H，连接KH，HN，NG，KG，
∵G，N分别是AB，AC的中点，
∴GN平行且等于

1

2

BC．
又∵K，H分别是OB，OC边的中点，
∴KH平行且等于

1

2

BC．
∴GN平行且等于KH．
∴四边形KHNG是平行四边形．
∴GO=OH，NO=KO．
而BK=KO，CH=HO，
∴BO=2ON，CO=2OG．
若取AO的中点R，
同理，可证AO=2OM．
∴AO=2OM，BO=2ON，CO=2OG．
解：（1）用尺规作图作出△ABC三边的中线AM，BN，CG，设它们的交点为O，则O为△ABC的重心

（2）通过度量发现：AO=2OM，BO=2ON，CO=2OG
猜想：三角形的重心O到三角形顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍．
证明：如图所示，取BO，CO的中点K，H，连接KH，HN，NG，KG，
∵G，N分别是AB，AC的中点，
∴GN平行且等于

1

2

BC．
又∵K，H分别是OB，OC边的中点，
∴KH平行且等于

1

2

BC．
∴GN平行且等于KH．
∴四边形KHNG是平行四边形．
∴GO=OH，NO=KO．
而BK=KO，CH=HO，
∴BO=2ON，CO=2OG．
若取AO的中点R，
同理，可证AO=2OM．
∴AO=2OM，BO=2ON，CO=2OG．