试题

题目：
青果学院求证：在直角三角形中两条直角边上的中线的平方和的4倍等于斜边平方的5倍．如图所示．设直角三角形ABC中，∠C=90°，AM，BN分别是BC，AC边上的中线，且AM2+BN2=AB2+MN2．
求证：4（AM2+BN2）=5AB2．
答案
青果学院证明：连接MN，线段MN称为△ABC的中位线，
∴MN∥AB且MN=
1
2
AB
AM2+BN2=AB2+MN2，
所以4（AM2+BN2）=4AB2+4MN2．
由于M，N是BC，AC的中点，
所以MN=
1
2
AB．
所以4MN2=AB2．
∴4（AM2+BN2）=5AB2．
青果学院证明：连接MN，线段MN称为△ABC的中位线，
∴MN∥AB且MN=
1
2
AB
AM2+BN2=AB2+MN2，
所以4（AM2+BN2）=4AB2+4MN2．
由于M，N是BC，AC的中点，
所以MN=
1
2
AB．
所以4MN2=AB2．
∴4（AM2+BN2）=5AB2．
考点梳理
勾股定理；三角形中位线定理．
分析由于AM，BN，AB均可看作某个直角三角形的斜边，可从勾股定理入手．我们分别把M，N当成所在边的中点，那么可直接利用AM2+BN2=AB2+MN2．
本题考查了中位线的平行于底边，且长度为底边的一半的性质，考查了勾股定理的运用，解本题的关键是假设M、N是中点．
证明题．
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