试题

如图△ABC，D是△ABC内的一点，延长BA至点E，延长DC至点F，使得AE=CF，G，H，M分别为BD，AC，EF的中点，如果G，H，M三点共线，求证：AB=CD．

证明：取BC中点T，AF的中点S，连接GT，HT，HS，SM，
∵GHM分别为BD，AC，EF的中点，
∴MS∥AE，MS=

1

2

AE，HS∥CF，HS=

1

2

CF，
∵GT∥CD，HT∥AB，GT=

1

2

CD，HT=

1

2

AB，
∴GT∥HS，HT∥SM，
∴∠SHM=∠TGH，∠SMH=∠THG，
∴∠TGH=∠THG，
∴GT=TH，
∴AB=CD．
证明：取BC中点T，AF的中点S，连接GT，HT，HS，SM，
∵GHM分别为BD，AC，EF的中点，
∴MS∥AE，MS=

1

2

AE，HS∥CF，HS=

1

2

CF，
∵GT∥CD，HT∥AB，GT=

1

2

CD，HT=

1

2

AB，
∴GT∥HS，HT∥SM，
∴∠SHM=∠TGH，∠SMH=∠THG，
∴∠TGH=∠THG，
∴GT=TH，
∴AB=CD．