试题

如图，在△ABC中（AB≠AC），M为BC的中点，AD平分∠BAC交BC于D，BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，求证：ME=MF．

证明：如图，延长CF交AB于点G，延长BE交AC的延长线于点H．
∵AF⊥GC，AD平分∠BAC，
∴AG=AC，GF=CF，
又∵点M是BC的中点，
∴MF是△BCG的中位线，
∴MF=

1

2

GB．
同理，ME=

1

2

HC．
∵AD平分∠BAC，BE⊥AD，
∴AB=AH，
∴BG=AB-AG=AH-AC=CH，即BG=CH，
∴MF=ME．
证明：如图，延长CF交AB于点G，延长BE交AC的延长线于点H．
∵AF⊥GC，AD平分∠BAC，
∴AG=AC，GF=CF，
又∵点M是BC的中点，
∴MF是△BCG的中位线，
∴MF=

1

2

GB．
同理，ME=

1

2

HC．
∵AD平分∠BAC，BE⊥AD，
∴AB=AH，
∴BG=AB-AG=AH-AC=CH，即BG=CH，
∴MF=ME．