试题

如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，△BOC≌△ADC，∠OCD=60°，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α=150°时，试判断△AOD 的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．

解：（1）∵△BOC≌△ADC，
∴OC=DC．--（1分）
∵∠OCD=60°，
∴△OCD是等边三角形．--（1分）

（2）△AOD是Rt△．--（1分）
理由如下：
∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC=60°，
∵△BOC≌△ADC，∠α=150°，
∴∠ADC=∠BOC=∠α=150°，
∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°，
∴△AOD是Rt△．--（2分）

（3）∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD=∠ODC=60°．
∵∠AOB=110°，∠ADC=∠BOC=α，
∴∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-110°-α-60°=190°-α，
∠ADO=∠ADC-∠ODC=α-60°，
∴∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=180°-（190°-α）-（α-60°）=50°．
①当∠AOD=∠ADO时，190°-α=α-60°，
∴α=125°．--（2分）
②当∠AOD=∠OAD时，190°-α=50°，
∴α=140°．--（2分）
③当∠ADO=∠OAD时，
α-60°=50°，
∴α=110°．--（2分）
综上所述：当α=110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．--（1分）
解：（1）∵△BOC≌△ADC，
∴OC=DC．--（1分）
∵∠OCD=60°，
∴△OCD是等边三角形．--（1分）

（2）△AOD是Rt△．--（1分）
理由如下：
∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC=60°，
∵△BOC≌△ADC，∠α=150°，
∴∠ADC=∠BOC=∠α=150°，
∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°，
∴△AOD是Rt△．--（2分）

（3）∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD=∠ODC=60°．
∵∠AOB=110°，∠ADC=∠BOC=α，
∴∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-110°-α-60°=190°-α，
∠ADO=∠ADC-∠ODC=α-60°，
∴∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=180°-（190°-α）-（α-60°）=50°．
①当∠AOD=∠ADO时，190°-α=α-60°，
∴α=125°．--（2分）
②当∠AOD=∠OAD时，190°-α=50°，
∴α=140°．--（2分）
③当∠ADO=∠OAD时，
α-60°=50°，
∴α=110°．--（2分）
综上所述：当α=110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．--（1分）