试题

某企业为手机产业基地提供手机配件，受人民币走高的影响，从去年1至9月，该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格y₁（元）与月份x（1≤x≤9，且x取整数）之间的函数关系如下表：

月份x	1	2	3	4	5	6	7	8	9
价格y1（元/件）	56	58	60	62	64	66	68	70	72

随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，10至12月每件配件的原材料价格y₂（元）与月份x（10≤x≤12，且x取整数）之间存在如图所示的变化趋势：
（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y₁与x之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出y₂与x之间满足的一次函数关系式；
（2）若去年该配件每件的售价为100元，生产每件配件的人力成本为5元，其它成本3元，该配件在1至9月的销售量p₁（万件）与月份x满足函数关系式p₁=0.1x+1.1（1≤x≤9，且x取整数），10至12月的销售量p₂（万件）与月份x满足函数关系式p₂=-0.1x+2.9（10≤x≤12，且x取整数）．求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润；
（3）今年1至5月，每件配件的原材料价格均比去年12月上涨6元，人力成本比去年增加20%，其它成本没有变化，该企业将每件配件的售价在去年的基础上提高a%，与此同时每月销售量均在去年12月的基础上减少8a%．这样，在保证每月上万件配件销量的前提下，完成了1至5月的总利润85万元的任务，请你计算出a的值．

解：（1）设y₁=kx+b，
则

k+b=56 2k+b=58

，
解得

k=2 b=54

，
∴y₁=2x+54（1≤x≤9，且x取整数）；
设y₂=ax+b，则

10a+b=73 12a+b=75

，
解得

a=1 b=63

，
∴y₂=x+63（10≤x≤12，且x取整数）；
故：y₁=54+2x（1≤x≤9，且x取整数），y₂=63+x（10≤x≤12，且x取整数）．

（2）设去年第x月的利润为W万元．
当1≤x≤9，且x取整数时，
W=P₁（100-5-3-y₁）=（0.1x+1.1）（100-5-3-54-2x）
=-0.2x²+1.6x+41.8
=-0.2（x-4）²+45，
∵1≤x≤9，
∴当x=4时，W_最大=45．
当10≤x≤12，且x取整数时，
W=P₂（100-5-3-y₂）=（-0.1x+2.9）（100-5-3-63-x），
=0.1（x-29）²．
∵10≤x≤12时，且x取整数时，
当x=10时，W_最大=36.1．
∵45＞36.1，
∴去年4月销售该配件的利润最大，最大利润为45万元．

（3）去年12月销售量为：2.9-0.1×12=1.7（万件）．
今年原材料价格为：75+6=81（元）．
今年人力成本为：5×（1+20%）=6（元）．
由题意，得5×[100（1+a%）-81-6-3]×1.7（1-8a%）=85．
设t=a%，整理，得t-40t²=0，
∴t₁=0（舍去）t₂=

1

40

，
∴

1

40

=a%，a=2.5．
答：a的值为2.5．
解：（1）设y₁=kx+b，
则

k+b=56 2k+b=58

，
解得

k=2 b=54

，
∴y₁=2x+54（1≤x≤9，且x取整数）；
设y₂=ax+b，则

10a+b=73 12a+b=75

，
解得

a=1 b=63

，
∴y₂=x+63（10≤x≤12，且x取整数）；
故：y₁=54+2x（1≤x≤9，且x取整数），y₂=63+x（10≤x≤12，且x取整数）．

（2）设去年第x月的利润为W万元．
当1≤x≤9，且x取整数时，
W=P₁（100-5-3-y₁）=（0.1x+1.1）（100-5-3-54-2x）
=-0.2x²+1.6x+41.8
=-0.2（x-4）²+45，
∵1≤x≤9，
∴当x=4时，W_最大=45．
当10≤x≤12，且x取整数时，
W=P₂（100-5-3-y₂）=（-0.1x+2.9）（100-5-3-63-x），
=0.1（x-29）²．
∵10≤x≤12时，且x取整数时，
当x=10时，W_最大=36.1．
∵45＞36.1，
∴去年4月销售该配件的利润最大，最大利润为45万元．

（3）去年12月销售量为：2.9-0.1×12=1.7（万件）．
今年原材料价格为：75+6=81（元）．
今年人力成本为：5×（1+20%）=6（元）．
由题意，得5×[100（1+a%）-81-6-3]×1.7（1-8a%）=85．
设t=a%，整理，得t-40t²=0，
∴t₁=0（舍去）t₂=

1

40

，
∴

1

40

=a%，a=2.5．
答：a的值为2.5．