试题

（2009·保定二模）某商店销售一种产品．产品的进价是100元/件，物价部门规定，每件产品的销售价不低于进价，且获利不得超过其进价．为了解这种产品的月销售量y（件）与实际售价x（元/件）之间的关系，每个月调整一次实际售价，试销一段时间后，部门负责人把试销情况列成下表：

实际售价x（元/件）	…	150	160	168	180	…
月销售量y（件）	…	500	480	464	440	…

此外，销售该产品的总开支z（元）（不含进价）与月销售量y（件）存在如下的函数关系：z=20y+4000
（1）请你猜想y（件）与x（元/件）之间可能存在怎样的函数关系；试求出y与x之间的函数表达式，写出自变量的取值范围，并验证你的猜想；
（2）该商店销售这种产品的月利润为P（元），求P与x之间的函数表达式；（注：月利=月销售额-成本-总开支）
（3）求该商店销售这种产品的月利润最大值是多少元？

解：（1）猜想y与x满足一次函数关系．
设y=kx+b，由题意得：

150k+b=500 160k+b=480

，
解得：

k=-2 b=800

，
∴y=-2x+800（100≤x≤200）；

（2）P=yx-100y-z
=-2x²+800x-100（-2x+800）-[20（-2x+800）+4000]
=-2x²+1000x-80000+40x-16000-4000
=-2x²+1000x-80000+40x-16000-4000
=-2x²+1040x-100000；

（3）∵P=-2x²+1040x-100000=-2（x-260）²+35200，
对称轴为x=260，
∴当100≤x≤200时，P随x的增大而增大，
即当x=200时P取得最大值，此时P_max=28000．
∴该商店销售这种产品的月利润最大值是28000元．
解：（1）猜想y与x满足一次函数关系．
设y=kx+b，由题意得：

150k+b=500 160k+b=480

，
解得：

k=-2 b=800

，
∴y=-2x+800（100≤x≤200）；

（2）P=yx-100y-z
=-2x²+800x-100（-2x+800）-[20（-2x+800）+4000]
=-2x²+1000x-80000+40x-16000-4000
=-2x²+1000x-80000+40x-16000-4000
=-2x²+1040x-100000；

（3）∵P=-2x²+1040x-100000=-2（x-260）²+35200，
对称轴为x=260，
∴当100≤x≤200时，P随x的增大而增大，
即当x=200时P取得最大值，此时P_max=28000．
∴该商店销售这种产品的月利润最大值是28000元．