试题

如图等腰梯形花圃ABCD的底边AD靠墙，另三边用长为40m的铁栏围成，设AB的长为xm，该花圃的面积为Sm²
（1）求出底边BC的长．（用含x的代数式表示）
（2）若∠BAD=60°，求S与x之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，若墙长为24m，试求S的最大值．

解：（1）∵AB=CD=x米，
∴BC=40-AB-CD=（40-2x）米．

（2）如图，
过点B、C分别作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，
在Rt△ABE中，AB=x，∠BAE=60°
∴AE=

1

2

x，BE=

3

2

x，
同理DF=

1

2

x，CF=

3

2

x
又EF=BC=40-2x
∴AD=AE+EF+DF=

1

2

x+40-2x+

1

2

x=40-x
∴S=

1

2

（40-2x+40-x）·

3

2

x=

3

4

x（80-3x）（0＜x＜20），
当S=93

3

时，-

3

4

3

x2+20

3

x=93

3

，
解得：x₁=6，x₂=20

2

3

（舍去）．
∴x=6

（3）由题意，得40-x≤24，
解得x≥16，
结合（2）得16≤x＜20．
由（2），S=-

3

4

3

x2+20

3

x=-

3

4

3

(x-

40

3

)2+

400

3

3

∵a=-

3 3

4

＜0
∴函数图象为开口向下的抛物线的一段（附函数图象草图如左）．
其对称轴为x=

40

3

，
∵16＞

40

3

，由左图可知，
当16≤x＜20时，S随x的增大而减小，
∴当x=16时，S取得最大值，
此时S最大值=

3 3

4

×16²+20

3

×16=128

3

m²．
解：（1）∵AB=CD=x米，
∴BC=40-AB-CD=（40-2x）米．

（2）如图，
过点B、C分别作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，
在Rt△ABE中，AB=x，∠BAE=60°
∴AE=

1

2

x，BE=

3

2

x，
同理DF=

1

2

x，CF=

3

2

x
又EF=BC=40-2x
∴AD=AE+EF+DF=

1

2

x+40-2x+

1

2

x=40-x
∴S=

1

2

（40-2x+40-x）·

3

2

x=

3

4

x（80-3x）（0＜x＜20），
当S=93

3

时，-

3

4

3

x2+20

3

x=93

3

，
解得：x₁=6，x₂=20

2

3

（舍去）．
∴x=6

（3）由题意，得40-x≤24，
解得x≥16，
结合（2）得16≤x＜20．
由（2），S=-

3

4

3

x2+20

3

x=-

3

4

3

(x-

40

3

)2+

400

3

3

∵a=-

3 3

4

＜0
∴函数图象为开口向下的抛物线的一段（附函数图象草图如左）．
其对称轴为x=

40

3

，
∵16＞

40

3

，由左图可知，
当16≤x＜20时，S随x的增大而减小，
∴当x=16时，S取得最大值，
此时S最大值=

3 3

4

×16²+20

3

×16=128

3

m²．