试题

题目：
青果学院如图，在长方形ABCD中，AB=4cm，AD=8cm．
（1）若点P是边AD上的一个动点，则点P在什么位置时，PA=PC？
（2）在（1）中，点P满足PA=PC，且Q是AB边上的一个动点，当AQ=
15
4
cm时，QP与PC垂直吗？为什么？
答案
青果学院解：（1）设PA=xcm，则PD=（8-x）cm，
∵PA=PC，
∴PC=xcm，
在Rt△PCD中，PC2=PD2+CD2，
x2=（8-x）2+42，
解得x=5，
∴PA=5cm；

（2）垂直，连接QP、QC，
则PQ2=52+（
15
4
）2=25+
225
16
，
CQ2=82+（4-
15
4
）2=64+
1
16
，
∴PQ2+PC2=25+
225
16
+25=50+14+
1
16
=64+
1
16
，
∴PQ2+PC2=CQ2，
∴当AQ=
15
4
cm时，QP与PC垂直．
青果学院解：（1）设PA=xcm，则PD=（8-x）cm，
∵PA=PC，
∴PC=xcm，
在Rt△PCD中，PC2=PD2+CD2，
x2=（8-x）2+42，
解得x=5，
∴PA=5cm；

（2）垂直，连接QP、QC，
则PQ2=52+（
15
4
）2=25+
225
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，
CQ2=82+（4-
15
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）2=64+
1
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，
∴PQ2+PC2=25+
225
16
+25=50+14+
1
16
=64+
1
16
，
∴PQ2+PC2=CQ2，
∴当AQ=
15
4
cm时，QP与PC垂直．
考点梳理
矩形的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理．
（1）设PA=x，表示出PD的长度，再利用勾股定理列式求解即可；
（2）根据勾股定理求出PQ2，PC2，CQ2，然后利用勾股定理逆定理进行解答．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，勾股定理逆定理，作出图形，分别表示出各直角三角形的边是解题的关键．
推理填空题．
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