试题

题目：
青果学院如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，CE平分∠BED．
（1）△BEC是否为等腰三角形？为什么？
（2）若AB=1，∠DCE=22.5°，求BC长．
答案
解：（1）△BEC是等腰三角形，
理由是：∵矩形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠DEC=∠ECB，
∵CE平分∠BED，
∴∠DEC=∠CEB，
∴∠CEB=∠ECB，
∴BE=BC，
∴△BEC是等腰三角形．

（2）解：∵矩形ABCD，
∴∠A=∠D=90°，
∵∠DCE=22.5°，
∴∠DEB=2×（90°-22.5°）=135°，
∴∠AEB=180°-∠DEB=45°，
∴∠ABE=∠AEB=45°，
∴AE=AB=1，由勾股定理得：BE=BC=
AE2+AB2
=
2
，
答：BC的长是
2
．
解：（1）△BEC是等腰三角形，
理由是：∵矩形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠DEC=∠ECB，
∵CE平分∠BED，
∴∠DEC=∠CEB，
∴∠CEB=∠ECB，
∴BE=BC，
∴△BEC是等腰三角形．

（2）解：∵矩形ABCD，
∴∠A=∠D=90°，
∵∠DCE=22.5°，
∴∠DEB=2×（90°-22.5°）=135°，
∴∠AEB=180°-∠DEB=45°，
∴∠ABE=∠AEB=45°，
∴AE=AB=1，由勾股定理得：BE=BC=
AE2+AB2
=
2
，
答：BC的长是
2
．
考点梳理
矩形的性质；平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定；勾股定理．
（1）△BEC是等腰三角形，理由是：根据矩形的性质得到AD∥BC，推出∠DEC=∠ECB，根据角平分线的性质推出∠CEB=∠ECB，根据等腰三角形的判定即可得到BE=BC；
（2）根据矩形的性质得到∠A=∠D=90°，求出∠DEB=135°，进一步求出∠AEB=45°，得出∠ABE=∠AEB=45°，推出AE=AB=1，根据勾股定理即可求出BE=BC=
2
．
本题主要考查对矩形的性质，勾股定理，角平分线的性质，平行线的性质等腰三角形的判定等知识点的理解和掌握才，能熟练地运用这些性质进行推理是解此题的关键．
证明题．
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