试题

如图，矩形ABCD中，BC=2AB，对角线相交于O，过C点作CE⊥BD交BD于E点，H为BC中点，连结AH交BD于G点，交EC的延长线于F点．
（1）求证：EH=AB；
（2）若AD=6，求CF的长．

证明：（1）∵CE⊥BD，
∴∠CEB=90°，
∵H为BC中点，
∴EH=

1

2

BC，
∵BC=2AB，
∴AB=EH．
    
（2）解：∵在矩形ABCD中，AD=BC=6，CD=AB=3，
∴由勾股定理知AC=3

5

，
∵H为BC中点，BC=2AB，
∴AB=BH，
∵矩形ABCD中，∠ABH=90°，
∴∠AEB=∠BAE=45°，
∴∠ECH=∠CHF+∠F=45°+∠F，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠DCB=90°，
∵CE⊥BD，
∴∠CED=90°，
∴∠DCE+∠CDB=∠ECB+∠DCE=90°，
∴∠ECB=∠CDB，
∵AB∥DC，
∴∠ECH=∠CDE=∠BAO，
∵∠BAO=∠BAH+∠HAC，
∴∠F=∠HAC，
∴CF=AC=3

5

．
证明：（1）∵CE⊥BD，
∴∠CEB=90°，
∵H为BC中点，
∴EH=

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2

BC，
∵BC=2AB，
∴AB=EH．
    
（2）解：∵在矩形ABCD中，AD=BC=6，CD=AB=3，
∴由勾股定理知AC=3

5

，
∵H为BC中点，BC=2AB，
∴AB=BH，
∵矩形ABCD中，∠ABH=90°，
∴∠AEB=∠BAE=45°，
∴∠ECH=∠CHF+∠F=45°+∠F，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠DCB=90°，
∵CE⊥BD，
∴∠CED=90°，
∴∠DCE+∠CDB=∠ECB+∠DCE=90°，
∴∠ECB=∠CDB，
∵AB∥DC，
∴∠ECH=∠CDE=∠BAO，
∵∠BAO=∠BAH+∠HAC，
∴∠F=∠HAC，
∴CF=AC=3

5

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