试题

题目：
青果学院如图，矩形ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，连接CE，AF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形．
（2）若AB=
3
，BC=3，求CE的长．
答案
青果学院（1）证明：如图，连接AC，与BD相交于点O，
在矩形ABCD中，OA=OC，OB=OD，AB∥CD，AB=CD，
∴∠ABE=∠CDF，
∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
在△ABE和△CDF中，
∠ABE=∠CDF
AB=CD
∠AEB=∠CFD=90°
，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴BE=DF，
∴OB-BE=OD-DF，
即OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）；

（2）解：∵AB=
3
，BC=3，
∴BD=
AB2+BC2
=
3
2+32
=2
3
，
∵∠ABE=∠DBA，∠AEB=∠DAB=90°，
∴△ABE∽△ABD，
∴
AB
BD
=
BE
AB
=
AE
AD
，
即
3
2
3
=
BE
3
=
AE
3
，
解得，BE=
3
2
，AE=
3
2
，
∴EF=BD-2BE=2
3
-
3
2
×2=
3
，
CF=AE=
3
2
，
在Rt△CEF中，CE=
EF2+CF2
=
3
2+(
3
2
)2
=
21
2
．
青果学院（1）证明：如图，连接AC，与BD相交于点O，
在矩形ABCD中，OA=OC，OB=OD，AB∥CD，AB=CD，
∴∠ABE=∠CDF，
∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
在△ABE和△CDF中，
∠ABE=∠CDF
AB=CD
∠AEB=∠CFD=90°
，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴BE=DF，
∴OB-BE=OD-DF，
即OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）；

（2）解：∵AB=
3
，BC=3，
∴BD=
AB2+BC2
=
3
2+32
=2
3
，
∵∠ABE=∠DBA，∠AEB=∠DAB=90°，
∴△ABE∽△ABD，
∴
AB
BD
=
BE
AB
=
AE
AD
，
即
3
2
3
=
BE
3
=
AE
3
，
解得，BE=
3
2
，AE=
3
2
，
∴EF=BD-2BE=2
3
-
3
2
×2=
3
，
CF=AE=
3
2
，
在Rt△CEF中，CE=
EF2+CF2
=
3
2+(
3
2
)2
=
21
2
．
考点梳理
矩形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质．
（1）连接AC，与BD相交于点O，根据矩形的对角线互相平分可得OA=OC，OB=OD，再利用“角角边”证明△ABE和△CDF全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DF，然后求出OE=OF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明；
（2）利用勾股定理求出BD长，再求出△ABE和△ABD相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出BE的长度，从而得到DE、AE的长，然后求出EF的长，在Rt△CEF中，利用勾股定理列式计算即可求出CE．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定，综合题题，但难度不大，作出辅助线是解题的关键．
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