试题

如图，矩形ABCD中，O为对角线交点，过O作直线分别与BC、AD交于点M、N．
（1）梯形ABMN的面积与梯形CDNM的面积有何关系？说明理由．
（2）如图，将矩形ABCD沿MN折叠，当折痕MN满足什么条件时，点C刚好与点A重合？（只写出答案，不要求说理）
（3）在（2）的条件下，若折叠后不重叠部分的面积是重叠部分的面积的一半，求BN：NC的值．

证明：（1）如图（一），连AC、BD交于O，
∵AD∥BC，
∴∠DMN=∠BNM，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OM=ON，
∵∠BON=∠DOM，
∴△DOM≌△BON，
∴MD=BN，
同理可证△AOM≌△CON，
∴AM=NC，
∴AM+MD=BN+NC，
∵AB=CD，
∴S_梯形ABNM=S_梯形CDMN；

（2）如图（二），连接MC，

∵当A点与C点重合时，△ANO≌△CMO，
∴NM⊥AC，这是NM应满足的条件；

（3）如图（二），
∵AB=CD=AD′，
∵∠BAN+∠NAM=90°，∠NAM+∠MAD′=90°，
∴∠BAN=∠MAD′，又∠B=∠D′=90°，
∴△ABN≌△AD′M，
∴△ABN和△AD′M的面积相等，NC=AN=AM，
∵重叠部分是△ANM，不重叠部分是△ABN和△AD′M．
∴

SABN+SAD′M

SANM

=

1

2

，即

2× 1 2 AB·BN

1 2 AB·AM

=

1

2

，
故

BN

NC

=

1

4

．
证明：（1）如图（一），连AC、BD交于O，
∵AD∥BC，
∴∠DMN=∠BNM，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OM=ON，
∵∠BON=∠DOM，
∴△DOM≌△BON，
∴MD=BN，
同理可证△AOM≌△CON，
∴AM=NC，
∴AM+MD=BN+NC，
∵AB=CD，
∴S_梯形ABNM=S_梯形CDMN；

（2）如图（二），连接MC，

∵当A点与C点重合时，△ANO≌△CMO，
∴NM⊥AC，这是NM应满足的条件；

（3）如图（二），
∵AB=CD=AD′，
∵∠BAN+∠NAM=90°，∠NAM+∠MAD′=90°，
∴∠BAN=∠MAD′，又∠B=∠D′=90°，
∴△ABN≌△AD′M，
∴△ABN和△AD′M的面积相等，NC=AN=AM，
∵重叠部分是△ANM，不重叠部分是△ABN和△AD′M．
∴

SABN+SAD′M

SANM

=

1

2

，即

2× 1 2 AB·BN

1 2 AB·AM

=

1

2

，
故

BN

NC

=

1

4

．