试题

题目：
青果学院（2005·闸北区一模）如图，点G是等边△ABC的重心，过点G作BC的平行线，分别交AB、AC于点D、E，点M在BC边上．如果以点B、D、M为顶点的三角形与以点C、E、M为顶点的三角形相似（但不全等），那么S△BDM：S△CEM=
（7+3
5
）：2或（7-3
5
）：2
（7+3
5
）：2或（7-3
5
）：2
．
答案
（7+3
5
）：2或（7-3
5
）：2

青果学院解：∵点G是等边△ABC的重心，DE∥BC，
∴AB=BC=AC，∠B=∠C=60°，
BD
AB
=
EC
AC
=
1
3
，
∴BD=
1
3
BC，EC=
1
3
BC，
当△BDM∽△CME时，则
BD
CM
=
BM
EC
，
设BD=a，CM=x，则CE=a，BC=3a，BM=3a-x，
∴
a
x
=
3a-x
a
，
解得：x=
3±
5
2
a，
∴当BM=
3+
5
2
a时，CM=
3-
5
2
a，则S△BDM：S△CEM=BM：CM=
7+3
5
2
；
当BM=
3-
5
2
a时，CM=
3+
5
2
a，则S△BDM：S△CEM=
7-3
5
2
．
故答案为：（7+3
5
）：2或（7-3
5
）：2．
考点梳理
相似三角形的性质；三角形的重心；等边三角形的性质．
首先由点G是等边△ABC的重心，DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理与三角形重心的性质，即可得AB=BC=AC，∠B=∠C=60°，
BD
AB
=
EC
AC
=
1
3
，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
此题考查了等边三角形的性质，三角形重心的性质，平行线分线段成比例定理以及相似三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用．
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