试题

题目：
青果学院（2013·河南模拟）如图，已知等边△ABC，D是边BC的中点，过D作DE∥AB于E，连接BE交AD于D1；过D1作D1E1∥AB于E1，连接BE1交AD于D2；过D2作D2E2∥AB于E2，…，如此继续，若记S△BDE为S1，记S△D1E1B为S2，记S△D2E2B为S3…，若S△ABC面积为Scm2，则Sn=
s
(n+1)2
s
(n+1)2
cm2（用含n与S的代数式表示）
答案
s
(n+1)2

解：∵D是边BC的中点，过D作DE∥AB，
∴E为AC的中点，BE⊥AC，
设△ABC的高是h，
青果学院
过E作EM⊥BC于M，
∵BD=DC，DE∥AB，
∴AE=EC，
∵AD⊥BC，EM⊥BC，
∴AD∥EM，
∴DM=MC，
∴EM=
1
2
AD=
1
2
h，
∴s1=
1
2
·
1
2
BC·
1
2
AD=
1
4
s=
s
(1+1)2
，
∵DE∥AB，D1E1∥AB，
∴
BD1
D1E
=
AB
DE
=2=
AE1
E1E
，
∴s2=
1
2
·
1
3
AE·h-
1
2
·
1
3
AE·
1
3
h=
1
9
s=
s
(1+2)2
，
同理s3=
1
16
s=
s
(1+3)2
，
…
sn=
s
(n+1)2
，
故答案为：
s
(n+1)2
．
考点梳理
等边三角形的性质；三角形的面积；平行线分线段成比例；相似三角形的性质．
根据D是边BC的中点，过D作DE∥AB，得到E为AC的中点，BE⊥AC，设△ABC的高是h，根据三角形的面积公式求出s1=
1
2
·
1
2
BC·
1
2
AD=
1
4
s=
s
(1+1)2
，根据DE∥AB，D1E1∥AB，得到
BD1
D1E
=
AB
DE
=2=
AE1
E1E
，求出s2=
s
(1+2)2
，同理s3=
1
16
s=
s
(1+3)2
，进而得出sn=
s
(n+1)2
，即得到答案．
本题主要考查对三角形的面积，平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质，等边三角形的性质，三角形的中位线定理等知识点的理解和掌握，能根据求出的结果找出规律是解此题的关键．
计算题；压轴题；规律型．
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