试题

（2010·邯郸二模）（1）如图1，正方形ABCD的边长为1，点E是AD边的中点，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，延长BF交CD边于点G，则FG=DG，求出此时DG的值；
（2）如图2，矩形ABCD中，AD＞AB，AB=1，点E是AD边的中点，同样将△ABE沿BE翻折得到△FBE，延长BF交CD边于点G．
①证明：FG=DG；
②若点G恰是CD边的中点，求AD的值；
③若△ABE与△BCG相似，求AD的值．

（1）解：设DG为x，
由题意得：BG=1+x，CG=1-x，
由勾股定理得：BG²=BC²+CG²，
有：（1+x）²=1²+（1-x）²，
解得：x=

1

4

．
∴DG=

1

4

；

（2）①证明：连接EG，
∵△FBE是由△ABE翻折得到的，
∴AE=FE，∠EFB=∠EAB=90°，
∴∠EFG=∠EDG=90°．
∵AE=DE，
∴FE=DE．
∵EG=EG，
∴Rt△EFG≌Rt△EDG（HL）．
∴DG=FG；

②解：若G是CD的中点，则DG=CG=

1

2

，
在Rt△BCG中，BC=

BG2-CG2

=

( 3 2 )2-( 1 2 )2

=

2

，
∴AD=

2

．

③解：由题意AB∥CD，
∴∠ABG=∠CGB．
∵△FBE是由△ABE翻折得到的，
∴∠ABE=∠FBE=

1

2

∠ABG，
∴∠ABE=

1

2

∠CGB．
∴若△ABE与△BCG相似，则必有∠ABE=∠CBG=30°．
在Rt△ABE中，AE=ABtan∠ABE=

3

3

，
∴AD=2AE=

2 3

3

．
（1）解：设DG为x，
由题意得：BG=1+x，CG=1-x，
由勾股定理得：BG²=BC²+CG²，
有：（1+x）²=1²+（1-x）²，
解得：x=

1

4

．
∴DG=

1

4

；

（2）①证明：连接EG，
∵△FBE是由△ABE翻折得到的，
∴AE=FE，∠EFB=∠EAB=90°，
∴∠EFG=∠EDG=90°．
∵AE=DE，
∴FE=DE．
∵EG=EG，
∴Rt△EFG≌Rt△EDG（HL）．
∴DG=FG；

②解：若G是CD的中点，则DG=CG=

1

2

，
在Rt△BCG中，BC=

BG2-CG2

=

( 3 2 )2-( 1 2 )2

=

2

，
∴AD=

2

．

③解：由题意AB∥CD，
∴∠ABG=∠CGB．
∵△FBE是由△ABE翻折得到的，
∴∠ABE=∠FBE=

1

2

∠ABG，
∴∠ABE=

1

2

∠CGB．
∴若△ABE与△BCG相似，则必有∠ABE=∠CBG=30°．
在Rt△ABE中，AE=ABtan∠ABE=

3

3

，
∴AD=2AE=

2 3

3

．