试题

题目：
青果学院（2013·潍坊）如图，直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，在线段AB上取一点D，作DF⊥AB交AC于点F，现将△ADF沿DF折叠，使点A落在线段DB上，对应点记为A1；AD的中点E的对应点记为E1，若△E1FA1∽△E1BF，则AD=
16
5
16
5
．
答案
16
5

解：∵∠ACB=90°，AB=10，BC=6，
∴AC=
AB2-BC2
=
102-62
=8，
设AD=2x，
∵点E为AD的中点，将△ADF沿DF折叠，点A对应点记为A1，点E的对应点为E1，
∴AE=DE=DE1=A1E1=x，
∵DF⊥AB，∠ACB=90°，∠A=∠A，
∴△ABC∽△AFD，
∴
AD
AC
=
DF
BC
，
即
2x
8
=
DF
6
，
解得DF=
3
2
x，
在Rt△DE1F中，E1F=
DF2+DE12
=
(
3x
2
)2+x2
=
13
x
2
，
又∵BE1=AB-AE1=10-3x，△E1FA1∽△E1BF，
∴
E1F
A1E1
=
BE1
E1F
，
∴E1F2=A1E1·BE1，
即（
13
x
2
）2=x（10-3x），
解得x=
8
5
，
∴AD的长为2×
8
5
=
16
5
．
故答案为：
16
5
．
考点梳理
相似三角形的性质；坐标与图形性质；翻折变换（折叠问题）．
利用勾股定理列式求出AC，设AD=2x，得到AE=DE=DE1=A1E1=x，然后求出BE1，再利用相似三角形对应边成比例列式求出DF，然后利用勾股定理列式求出E1F，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解得到x的值，从而可得AD的值．
本题考查了相似三角形的性质，主要利用了翻折变换的性质，勾股定理，相似三角形对应边成比例，综合题，熟记性质并准确识图是解题的关键．
几何综合题；压轴题．
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