试题

已知：如图，正方形ABCD的边长是1，P是CD的中点，点Q是线段BC上一动点，当BQ为何值时，以A、D、P为顶点的三角形与以Q、C、P为顶点的三角形相似．

解：∵正方形ABCD的边长是1，P是CD的中点，
∴PD=PC=

1

2

，
①当DP与PC是对应边时，

DP

PC

=

AD

CQ

，
即

1 2

1 2

=

1

CQ

，
解得CQ=1，
∴BQ=BC-CQ=1-1=0；
②当DP与CQ是对应边时，

DP

CQ

=

AD

PC

，
即

1 2

CQ

=

1

1 2

，
解得CQ=

1

4

，
∴BQ=BC-CQ=1-

1

4

=

3

4

，
综上所述，BQ的长度是0或

3

4

时，以A、D、P为顶点的三角形与以Q、C、P为顶点的三角形相似．
解：∵正方形ABCD的边长是1，P是CD的中点，
∴PD=PC=

1

2

，
①当DP与PC是对应边时，

DP

PC

=

AD

CQ

，
即

1 2

1 2

=

1

CQ

，
解得CQ=1，
∴BQ=BC-CQ=1-1=0；
②当DP与CQ是对应边时，

DP

CQ

=

AD

PC

，
即

1 2

CQ

=

1

1 2

，
解得CQ=

1

4

，
∴BQ=BC-CQ=1-

1

4

=

3

4

，
综上所述，BQ的长度是0或

3

4

时，以A、D、P为顶点的三角形与以Q、C、P为顶点的三角形相似．