试题

题目：
青果学院如图，正方形ABCD的边长为1，E是边CD上的一点，F是边CB延长线上的一点，如果△ADE∽△FCE∽△ABF，且∠DAE、∠CFE、∠BAF是对应角．求DE的长．
答案
解：∵正方形ABCD的边长为1，
∴AD=AB=BC=CD=1，
∵△ADE∽△ABF，
∴
DE
BF
=
AD
AB
，
∴DE=BF，
设DE=x，
则BF=x，CE=CD-DE=1-x，CF=BC+BF=1+x，
∵△ADE∽△FCE，
∴
AD
FC
=
DE
CE
，
即
1
1+x
=
x
1-x
，
解得：x1=
2
-1，x2=-
2
-1（舍去），
∴DE=
2
-1．
解：∵正方形ABCD的边长为1，
∴AD=AB=BC=CD=1，
∵△ADE∽△ABF，
∴
DE
BF
=
AD
AB
，
∴DE=BF，
设DE=x，
则BF=x，CE=CD-DE=1-x，CF=BC+BF=1+x，
∵△ADE∽△FCE，
∴
AD
FC
=
DE
CE
，
即
1
1+x
=
x
1-x
，
解得：x1=
2
-1，x2=-
2
-1（舍去），
∴DE=
2
-1．
考点梳理
相似三角形的性质；正方形的性质．
首先由正方形ABCD的边长为1，△ADE∽△ABF，证得BF=DE，然后设DE=x，可得BF=x，CE=CD-DE=1-x，CF=BC+BF=1+x，又由△ADE∽△FCE，可得
AD
FC
=
DE
CE
，即可得方程
1
1+x
=
x
1-x
，解此方程即可求得答案．
此题考查了相似三角形的性质、正方形的性质以及一元二次方程的解法．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用．
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