试题

题目:
青果学院如图所示,∠C=90°,BC=8cm,AC:AB=3:5,点P从点B出发,沿BC向点C以2cm/s的速度移动,点Q从点C出发沿CA向点A以1cm/s的速度移动,如果P、Q分别从B、C同时出发,过多少秒时,以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似?
答案
解:∵∠C=90°,BC=8cm,AC:AB=3:5,
∴设AC=3xcm,AB=5xcm,
则BC=
AB2-AC2
=4x(cm),
即4x=8,
解得:x=2,青果学院
∴AC=6cm,AB=10cm,
∴BC=8cm,
设过t秒时,以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似,
则BP=2tcm,CP=BC-BP=8-2t(cm),CQ=tcm,
∵∠C是公共角,
∴①当
CP
CB
=
CQ
CA
,即
8-2t
8
=
t
6
时,△CPQ∽△CBA,
解得:t=2.4,
②当
CP
CA
=
CQ
CB
,即
8-2t
6
=
t
8
时,△CPQ∽△CAB,
解得:t=
32
11

∴过2.4或
32
11
秒时,以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似.
解:∵∠C=90°,BC=8cm,AC:AB=3:5,
∴设AC=3xcm,AB=5xcm,
则BC=
AB2-AC2
=4x(cm),
即4x=8,
解得:x=2,青果学院
∴AC=6cm,AB=10cm,
∴BC=8cm,
设过t秒时,以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似,
则BP=2tcm,CP=BC-BP=8-2t(cm),CQ=tcm,
∵∠C是公共角,
∴①当
CP
CB
=
CQ
CA
,即
8-2t
8
=
t
6
时,△CPQ∽△CBA,
解得:t=2.4,
②当
CP
CA
=
CQ
CB
,即
8-2t
6
=
t
8
时,△CPQ∽△CAB,
解得:t=
32
11

∴过2.4或
32
11
秒时,以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似.
考点梳理
相似三角形的性质.
由∠C=90°,BC=8cm,AC:AB=3:5,利用勾股定理即可求得AB与AC的长,然后设过t秒时,以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似,则可得BP=2tcm,CP=BC-BP=8-2t(cm),CQ=tcm,再分别从当
CP
CB
=
CQ
CA
时,△CPQ∽△CBA与当
CP
CA
=
CQ
CB
时,△CPQ∽△CAB,去分析求解即可求得答案.
此题考查了相似三角形的判定与勾股定理.此题难度适中,注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用.
压轴题;分类讨论.
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