如图，小明作出了边长为1的第1个正△A1B1C1，算出了正△A1B1C1的面积．然后分别取△A1B1C1三边的中点A2、B2、C2，作出了第2个正△A2B2C2，算出了正△A2B2-青果题库-青果学院

题目：

（2010·铜仁地区）如图，小明作出了边长为1的第1个正△A₁B₁C₁，算出了正△A₁B₁C₁的面积．然后分别取△A₁B₁C₁三边的中点A₂、B₂、C₂，作出了第2个正△A₂B₂C₂，算出了正△A₂B₂C₂的面积．用同样的方法，作出了第3个正△A₃B₃C₃，算出了正△A₃B₃C₃的面积…，由此可得，第10个正△A₁₀B₁₀C₁₀的面积是（　　）
A．

3

4

×(

1

4

)9
B．

3

4

×(

1

4

)10
C．

3

4

×(

1

2

)9
D．

3

4

×(

1

2

)10

答案

A
解：正△A₁B₁C₁的面积是

3

4

，
而△A₂B₂C₂与△A₁B₁C₁相似，并且相似比是1：2，
则面积的比是

1

4

，则正△A₂B₂C₂的面积是

3

4

×

1

4

；
因而正△A₃B₃C₃与正△A₂B₂C₂的面积的比也是

1

4

，面积是

3

4

（

1

4

）²；
依此类推△A_nB_nC_n与△A_n-1B_n-1C_n-1的面积的比是

1

4

，第n个三角形的面积是

3

4

（

1

4

）^n-1．
所以第10个正△A₁₀B₁₀C₁₀的面积是

3

4

×(

1

4

)9，
故选A．

考点梳理

相似三角形的性质；等边三角形的性质；三角形中位线定理．

试题