试题

题目：
青果学院如图，已知等边△ABC的边长为8，点D、P、E分别在边AB、BC、AC上，BD=3，E为AC中点，当△BPD与△PCE相似时，求BP的值．
答案
解：设BP=x，
∵等边△ABC的边长为8，
∴CP=8-x，
∵E为AC中点，
∴CE=
1
2
AC=
1
2
×8=4，
①BD和PC是对应边时，△BDP∽△CPE，
∴
BD
CP
=
BP
CE
，
即
3
8-x
=
x
4
，
整理得，x2-8x+12=0，
解得x1=2，x2=6，
即BP的长为2或6，
②BD和CE是对应边时，△BDP∽△CEP，
∴
BD
CE
=
BP
CP
，
即
3
4
=
x
8-x
，
解得x=
24
7
，
即BP=
24
7
，
综上所述，BP的值是2或6或
24
7
．
解：设BP=x，
∵等边△ABC的边长为8，
∴CP=8-x，
∵E为AC中点，
∴CE=
1
2
AC=
1
2
×8=4，
①BD和PC是对应边时，△BDP∽△CPE，
∴
BD
CP
=
BP
CE
，
即
3
8-x
=
x
4
，
整理得，x2-8x+12=0，
解得x1=2，x2=6，
即BP的长为2或6，
②BD和CE是对应边时，△BDP∽△CEP，
∴
BD
CE
=
BP
CP
，
即
3
4
=
x
8-x
，
解得x=
24
7
，
即BP=
24
7
，
综上所述，BP的值是2或6或
24
7
．
考点梳理
相似三角形的性质；等边三角形的性质．
设BP=x，表示出CP=8-x，然后分①BD和PC是对应边，②BD和CE是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．
本题考查了相似三角形的性质，等边三角形的性质，主要利用了相似三角形对应边成比例，难点在于要分情况讨论．
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