试题

题目：
△ABC的内切圆切边AB于点P，内切圆半径r=21，且AP=23，PB=27，则△ABC的周长是
345
345
．
答案
345

青果学院解：如图，
设BC、AC边上的切点为Q、R，AB边上的高为CD，
设CQ=x，AD=y，高CD=z，则BD=50-y，AC=23+x，BC=27+x，
在直角三角形ADC中，由勾股定理：得y2+z2=（23+x）2，①
在直角三角形BDC中，由勾股定理：（50-y）2+z2=（27+x）2，②
由三角形面积公式得：
1
2
[23+27+23+x+27+x]×21=
1
2
×50z，③
由①得x2-y2-z2+46x+529=0④，
由②得x2-y2-z2+54x+100y+729-2500=0④，
由③得42x-50z+2100=0⑥，
整理得x=
245
2
，
∴△ABC的周长为：2（23+27）+2x=100+245=345，
故答案为345．
考点梳理
三角形的内切圆与内心．
设BC、AC边上的切点为Q、R，AB边上的高为CD，设CQ=x，AD=y，高CD=z，则BD=50-y，AC=23+x，BC=27+x，在直角三角形ADC中，由勾股定理：得y2+z2=（23+x）2，在直角三角形BDC中，由勾股定理：（50-y）2+z2=（27+x）2，由三角形面积公式得：[2（23+27）+2x]×21=50z，三个未知数，三个方程，可以求解．
本题考查了三角形的内切圆和内心，注：三角形的面积公式：S=
1
2
p·r，其中p表示三角形的周长，r表示内切圆的半径．
计算题．
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