试题

题目：
青果学院（2005·天津）如图，若正△A1B1C1内接于正△ABC的内切圆，则
A1B1
AB
的值为（　　）



答案
A
青果学院解：∵△A1B1C1和△ABC都是正三角形，∴它们的内心与外心重合；
如图：设圆的半径为R；
Rt△OAD中，∠OAD=30°，OD=R；
AD=OD·
OD
tan∠OAD
=
3
R，即AB=2
3
R；
同理可求得A1B1=
3
R；
∴
A1B1
AB
=
3
R
2
3
R
=
1
2
．
故选A．
考点梳理
三角形的内切圆与内心．
由于△ABC、△A1B1C1都是正三角形，因此它们的外心与内心重合；可过O分别作AB、A1B1的垂线，连接OA、OA1；在构建的含特殊角的直角三角形中，用⊙O的半径分别表示出AB、A1B1的长，进而可求出它们的比例关系．
本题主要考查了等边三角形的性质：等边三角形的内心、外心、重心、垂心、旁心重合，称为等边三角形的中心（五心合一）．
压轴题．
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