试题

已知△ABC的内切圆半径为r，∠A=60°，BC=2

3

，则r的取值范围是．

解：方法1：设CF的长为x，则BF的长为2

3

-x．
在Rt△AEO内，AO=

r

sin∠EAO

=

r

sin30°

=2r，AE=AO·cos30°=

3

r
∴AC=AG+CG=AE+CF=

3

r+x，AB=AE+BE=

3

r+2

3

-x
在△ABC中，AB边上的高=AC·sin60°=(

3

r+x)·

3

2

S_△ABC=

1

2

·(

3

r+2

3

-x)·(

3

r+x)·

3

2

S_△ABC=S_△ABO+S_△BCO+S_△ACO=

1

2

·(AB+AC+BC)·r=

1

2

·(

3

r+2

3

-x+

3

r+x+2

3

)·r
∴

1

2

·(

3

r+2

3

-x)·(

3

r+x)·

3

2

=

1

2

·(

3

r+2

3

-x+

3

r+x+2

3

)·r
化简得x2-2

3

x+9r2-6r =0
∴△=(-2

3

)2-4( 9r2-6r )≥0，即3r²-2r-1≤0
解得-

1

3

≤r≤1
结合题意只能是0＜r≤1．

方法2：设AB=x，AC=y，
因为S_△ABC=

1

2

AB·AC·sinA=

1

2

（a+b+c）r
代入数据得到r=

3 2 xy

x+y-2 3

①
又在直角三角形AEO中，AE=

3

r=

1

2

（x+y-2

3

）
得到x+y=2

3

（r+1）xy=2

3

y（r+1）-y ²
代入①，整理得到关于y的一元二次方程

3

2

y²-3（r+1）y+（2

3

r²+4

3

r）=0
因为△≥0
得到r²+2r-3≥0
所以-3≤r≤1
结合题意只能是0＜r≤1．＜R《1
故答案为0＜r≤1．