试题

题目：
（2011·大庆）如图，Rt△ABC的两直角边AC边长为4，BC边长为3，它的内切圆为⊙0，⊙0与边AB、BC青果学院、AC分别相切于点D、E、F，延长C0交斜边AB于点G．
（1）求⊙0的半径长；
（2）求线段DG的长．
答案
青果学院解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=
AC2+BC2
=5，
∴⊙O的半径r=
1
2
（AC+BC-AB）=
1
2
（4+3-5）=1；

（2）过G作GP⊥AC，垂足为P，设GP=x，
由∠ACB=90°，CG平分∠ACB，得∠GCP=45°，
∴GP=PC=x，
∵Rt△AGP∽Rt△ABC，
∴
x
3
=
4-x
4
，
解得x=
12
7
，
即GP=
12
7
，CG=
12
2
7
，
∴OG=CG-CO=
12
2
7
-
2
=
5
2
7
，
在Rt△ODG中，DG=
OG2-OD2
=
1
7
．
青果学院解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=
AC2+BC2
=5，
∴⊙O的半径r=
1
2
（AC+BC-AB）=
1
2
（4+3-5）=1；

（2）过G作GP⊥AC，垂足为P，设GP=x，
由∠ACB=90°，CG平分∠ACB，得∠GCP=45°，
∴GP=PC=x，
∵Rt△AGP∽Rt△ABC，
∴
x
3
=
4-x
4
，
解得x=
12
7
，
即GP=
12
7
，CG=
12
2
7
，
∴OG=CG-CO=
12
2
7
-
2
=
5
2
7
，
在Rt△ODG中，DG=
OG2-OD2
=
1
7
．
考点梳理
三角形的内切圆与内心；勾股定理；相似三角形的判定与性质．
（1）由勾股定理求AB，设⊙O的半径为r，则r=
1
2
（AC+BC-AB）求解；
（2）过G作GP⊥AC，垂足为P，根据CG平分直角∠ACB可知△PCG为等腰直角三角形，设PG=PC=x，则CG=
2
x，由（1）可知CO=
2
r=
2
，由Rt△AGP∽Rt△ABC，利用相似比求x，由OG=CG-CO求OG，在Rt△ODG中，由勾股定理求DG．
本题考查了三角形的内切圆与内心，相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用．关键是根据直角三角形的内心的性质作辅助线，运用三角形相似及勾股定理解题．
计算题；压轴题．
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