试题

题目：
青果学院如图，在△ABC中，AB=BC=5，AC=7，△ABC的内切圆⊙O与边AC相切于点M，过点M作平行于边BC的直线MN交⊙O于点N，过点N作⊙O的切线交AC于点P．则MN-NP=
0.6
0.6
．
答案
0.6

青果学院解：∵AB=BC=5，AC=7，△ABC的内切圆⊙O与边AC相切于点M（利用等腰三角形三线合一，），
∴AM=CM=3.5，
设MN交AB于点G，
∵MG∥BC，
∴∠C=∠NMP，GM=
1
2
BC=2.5，
∴AG=BG=2.5，
设⊙O与边AB相切于点R，
∵则AR=AM=3.5，
∴GR=3.5-2.5=1，
∵GR 2=GN×GM，
∴1=GN×2.5，
解得：GN=0.4，
∴MN=GM-GN=2.5-0.4=2.1，
∵∠C=∠NMP，PN=PM（切线长定理），
∴∠PNM=∠PMN=∠C=∠A，
∴△ABC∽MPN，
∴
PM
MN
=
AB
AC
，
即
PM
2.1
=
5
7
，
解得：PM=1.5，
∴PN=1.5，则
∴MN-NP=2.1-1.5=0.6．
故答案为：0.6．
考点梳理
三角形的内切圆与内心．
首先根据等腰三角形的性质得出AM=MC，以及利用平行线的性质得出GM=2.5，再利用切割线定理求出MN的长，再利用△ABC∽MPN，得出
PM
MN
=
AB
AC
，即可得求出PM的长，进而得出MN-NP的值．
此题主要考查了三角形内切圆的性质以及切线长定理和相似三角形的判定等性质，得出MN的长度和△ABC∽MPN是解决问题的关键．
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