试题

题目：
△ABC中，已知∠A、∠B、∠C的对边长分别为a、b、c，∠C=120°，且2b=a+c，求2cot
B
2
-cot
A
2
的值．
答案
青果学院解：作△ABC的内切圆，分别切AB、BC、CA于D、E、F，圆心为O，
连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，
∴AD=AF，BD=BE，CF=CE，
c-AD+n-AD=a，
∴AD=
b+c-a
2
，
同理：BE=
c+a-b
2
，CE=
a+b-c
2
，
在Rt△OCE中，cot60°=
CE
r
=
3
3
，
得r=
3
(a+b-c)
2
，
所以2cot
B
2
-cot
A
2
=
2BE
r
-
AD
r
=
3
3
．
答：2cot
B
2
-cot
A
2
的值是
3
3
．
青果学院解：作△ABC的内切圆，分别切AB、BC、CA于D、E、F，圆心为O，
连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，
∴AD=AF，BD=BE，CF=CE，
c-AD+n-AD=a，
∴AD=
b+c-a
2
，
同理：BE=
c+a-b
2
，CE=
a+b-c
2
，
在Rt△OCE中，cot60°=
CE
r
=
3
3
，
得r=
3
(a+b-c)
2
，
所以2cot
B
2
-cot
A
2
=
2BE
r
-
AD
r
=
3
3
．
答：2cot
B
2
-cot
A
2
的值是
3
3
．
考点梳理
三角形的内切圆与内心；切线长定理；解直角三角形．
作△ABC的内切圆，分别切AB、BC、CA于D、E、F，圆心为O，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，求出AD、BE、CF，根据锐角三角函数求出r，代入求出即可．
本题主要考查对解直角三角形，三角形的内切圆与内心，切线长定理等知识点的理解和掌握，能求出AD、BE、CE的长和r的长是解此题的关键．
计算题．
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