试题

题目：
如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，它的内切圆分别与边BC、CA、AB相切于点D、E青果学院、F，连接AD与内切圆相交于另一点P，连接PC、PE、PF、FD，且PC⊥PF．
求证：（1）△PFD∽△PDC；（2）
EP
DE
=
PD
DC
．
答案
解：（1）∵BC与圆相切，
∴∠PFD=∠PDC．青果学院
∵BF、BD分别于圆相切，
∴∠BFD=∠BDF=45°．
∴∠FPD=45°．
∵PC⊥PF，
∴∠FPD=∠DPC．
∴△PFD∽△PDC．

（2）∵AE、AF与圆相切，
∴∠AFP=∠ADF，∠AEP=∠ADE，
∵∠FAD=∠PAF，∠EAP=∠DAE，
∴△AFP∽△ADF，△AEP∽△ADE，
∴
AF
AD
=
PF
FD
、
AE
AD
=
PE
ED
且AE=AF，
∴
PF
FD
=
PE
ED
．
∵△PFD∽△PDC，
∴
PF
FD
=
PD
DC
．
∴
EP
DE
=
PD
DC
．
解：（1）∵BC与圆相切，
∴∠PFD=∠PDC．青果学院
∵BF、BD分别于圆相切，
∴∠BFD=∠BDF=45°．
∴∠FPD=45°．
∵PC⊥PF，
∴∠FPD=∠DPC．
∴△PFD∽△PDC．

（2）∵AE、AF与圆相切，
∴∠AFP=∠ADF，∠AEP=∠ADE，
∵∠FAD=∠PAF，∠EAP=∠DAE，
∴△AFP∽△ADF，△AEP∽△ADE，
∴
AF
AD
=
PF
FD
、
AE
AD
=
PE
ED
且AE=AF，
∴
PF
FD
=
PE
ED
．
∵△PFD∽△PDC，
∴
PF
FD
=
PD
DC
．
∴
EP
DE
=
PD
DC
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；三角形的内切圆与内心．
（1）证明三角形相似只要知道两个角相等即可，根据弦切角定理很容易的出∠PFD=∠PDC，由角度关系可以知道∠FPD=DPC，即可证明．
（2）要证
EP
DE
=
PD
DC
，由（1）知道
PF
FD
=
PD
DC
，只要证明
PF
FD
=
PE
ED
，根据AE、AF与圆相切，可以求得．
本题主要考查三角形相切的性质，结合角度关系来求．注意线段之间的转化，方便求解．
证明题．
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