试题

（2010·河东区一模）如图，△ABC是边长为a的等边三角形，O为△ABC的中心．将△ABC绕着中心O旋转120°．
①直接写出△ABC的内切圆半径r和外接圆半径R分别是多少？
②设点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且AD=2DB，BE=2EC，CF=2FA，试画出△DEF，说明它的形状，并计算它的周长；
③根据“线动成面”的道理，△ABC的三条边AB、BC和CA在旋转过程中扫过的部分组成的平面图形的形状是什么？并计算出此图形的面积．

解：①内切圆半径r=

3

6

a，外接圆半径R=

3

3

a；

②如图画出△DEF，可知它是等边三角形．
取BE的中点M，连接DM，
由BD=BM=

1

3

a，且∠B=60°，得等边△BDM，
∴DM=ME=

1

3

a，∠MDE=∠MED，
又∠BMD=60°，
∴∠MED=

1

2

∠BMD=30°，
∴∠BDE=90°，
在Rt△BDE中，DE=

3

BD=

3

3

a，
∴等边△DEF的周长=

3

a；

③图形的形状是：三角形的外接圆与内切圆所形成的圆环．
∵圆环的大圆半径是△ABC外接圆半径R，小圆半径是△ABC内切圆半径r，
∴圆环的面积=πR²-πr²=π·

1

3

a2-π·

1

12

a2=

1

4

πa2．
解：①内切圆半径r=

3

6

a，外接圆半径R=

3

3

a；

②如图画出△DEF，可知它是等边三角形．
取BE的中点M，连接DM，
由BD=BM=

1

3

a，且∠B=60°，得等边△BDM，
∴DM=ME=

1

3

a，∠MDE=∠MED，
又∠BMD=60°，
∴∠MED=

1

2

∠BMD=30°，
∴∠BDE=90°，
在Rt△BDE中，DE=

3

BD=

3

3

a，
∴等边△DEF的周长=

3

a；

③图形的形状是：三角形的外接圆与内切圆所形成的圆环．
∵圆环的大圆半径是△ABC外接圆半径R，小圆半径是△ABC内切圆半径r，
∴圆环的面积=πR²-πr²=π·

1

3

a2-π·

1

12

a2=

1

4

πa2．