试题

（2012·乐山模拟）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F．
（1）求证：四边形CFDE是正方形；
（2）若AC=3，BC=4，求△ABC的内切圆半径．

（1）证明：如图1，过点D作DN⊥AB于点N，
∵∠C=90°，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠C=∠DEC=∠DFC=90°，
∴四边形CFDE是矩形，
∵∠A、∠B的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，DN⊥AB于点N，
∴DE=DN，DN=DF，
∴DF=DE，
∴矩形CFDE是正方形；

（2）解：如图2，
在Rt△ABC，∠C=90°，AC=3，BC=4；
根据勾股定理AB=

AC2-BC2

=5；
由切线长定理，得：AN=AF，BN=BE，CE=CF；
∴CE=CF=

1

2

（AC+BC-AB）；
即：r=

1

2

（3+4-5）=1．
（1）证明：如图1，过点D作DN⊥AB于点N，
∵∠C=90°，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠C=∠DEC=∠DFC=90°，
∴四边形CFDE是矩形，
∵∠A、∠B的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，DN⊥AB于点N，
∴DE=DN，DN=DF，
∴DF=DE，
∴矩形CFDE是正方形；

（2）解：如图2，
在Rt△ABC，∠C=90°，AC=3，BC=4；
根据勾股定理AB=

AC2-BC2

=5；
由切线长定理，得：AN=AF，BN=BE，CE=CF；
∴CE=CF=

1

2

（AC+BC-AB）；
即：r=

1

2

（3+4-5）=1．